数值分析07线性代数方程组的直接法

第七章线性方程组的直接解法AX=b（3.1）

线性方程组数值解法的分类

直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组）

◆Gauss消去法及其变形

◆矩阵的三角分解法

迭代法（适用于高阶线性方程组）

◆Jacobi迭代法

◆

Gauss-Seidel迭代法

◆逐次超松弛法

◆共轭斜量法§1高斯消去法1．三角形方程组的解法---回代法（3.2）（3.3）

2．顺序高斯消去法

基本思想：通过消元将上述方程组化为三角形方程组进行求解。消元公式回代公式顺序Gauss消去法可执行的前提定理1

给定线性方程组，如果n阶方阵的所有顺序主子式都不为零，即则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素均不为零，从而Gauss

消去法可顺利执行。注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优阵时，按Gauss消去法计算是稳定的。3、列主元Gauss消去法计算步骤：1、输入矩阵阶数n，增广矩阵

A(n,n+1);2、对于(1)按列选主元：选取l使

(2)如果，交换A(n,n+1)的第k行与第l

行元素(3)

消元计算：3、回代计算4．无回代过程的主元消去法算法：第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为主元行，将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1，并从其余n–1个方程中消去x1。第二步：在第二列后n–1个元素中选主元，将第二个方程中x2的系数变为1，并从其它n–1个方程中消去x2。第k步：在第k列后n–k个元素中选主元，换行，将第k个方程xk的系数变为1，从其它n-1个方程中消去变量xk，…………消元公式为：对k=1,2,…,按上述步骤进行到第n步后，方程组变为：即为所求的解注：无回代的Gauss消元法实际上就是将方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵。5．无回代消去法的应用（1）解线性方程组系设要解的线性方程组系为：AX=b1,AX=b2,…AX=bm上述方程组系可以写为AX=B=(b1,…,bm)因此 X=A-1B即为线性方程组系的解。

在计算机上只需要增加几组右端常数项的存贮单元，其结构和解一个方程组时一样。行系数右端（2）求逆矩阵设A=(aij)n

n是非奇矩阵，

A

0，且令由于AA-1=AX=I因此，求A-1的问题相当于解下列线性方程组相当于（1）中m=n,

B=I的情形。

（3）求行列式的值用高斯消去法将

A

化成§2解三对角方程组的追赶法§3矩阵的三角分解法

高斯消元法的矩阵形式

每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵LkA

的

LU

分解(LUfactorization)定理2：（矩阵的三角分解）设A为n

n实矩阵，如果解AX=b用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交换，即），则矩阵A可分解为单位下三角矩阵L与上三角知阵U的乘积。

A=LU且这种分解是唯一的。注：（1）L为单位下三角阵而U为一般上三角阵的分解称为Doolittle

分解（2）L为一般下三角阵而U为单位上三角阵的分解称为Crout分解。

Doolittle分解法：通过比较法直接导出L和U的计算公式。思路LU分解求解线性方程组直接三角分解法解AX=b的计算公式对于r=2,3,…,n计算（2）计算U的第r行元素

（3）计算L的第r列元素(r

n)(1)(4)(5)§4平方根法1．矩阵的LDR分解定理3：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不等于零，则矩阵A存在唯一的分解式A=LDR其中L和R分别是n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是n阶对角元素的不为零的对角阵，上述分解也称为A的LDR分解。2．平方根法

如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三

角矩阵，使A=LLT，且当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的。定理4：（对称正定矩阵的三角分解）将对称

正定阵

A做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn记为

A对称即记D1/2=则仍是下三角阵，且有用平方根法解线性代数方程组的算法（1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法：对于i=1,2,…,n计算（2）求解下三角形方程组

（3）求解LTX=y3．改进平方根法

其中改进平方根法解对称正定方程组的算法令LTX=y，先解下三角形方程组LDY=b得解上三角形方程组LTX=Y得§5向量和矩阵的范数

1．向量的范数定义1：设X

Rn，

Ｘ

表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性质：（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y

Rn，恒有

(1)非负性：即对一切X

Rn，X

0,

Ｘ

>0(2)齐次性：即对任何实数a

R，X

Rn，

设X=(x1,x2,…,xn