第7章 数学物理方程定解问题

本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解；重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法；特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程。第二篇数学物理方程数理方程简介物理/工程问题数学问题翻译物理/工程规律数学结果求解数学理论数学性质讨论物理/工程意义补充：二阶线性偏微分方程及其分类一、偏微分方程阶数：偏导数的最高阶数定义：未知函数及其偏导数所满足的方程。线性偏微分方程：所有含未知函数或其偏导数的项均为一次项。齐次方程：各非零项都含有未知函数，或未知函数的偏导数【例】未知函数

u＝u(x,y)

二阶非线性非齐次

三阶线性非齐次

二阶线性齐次

一阶非线性非齐次二、二阶线性偏微分方程的分类

复杂多样的物理问题被抽象成数学模型时，多样的物理背景可能是同一个数学模型。下面把从物理问题中抽象出来的二阶线性偏微分方程分为几大类1.波动方程：描述机械的、电磁的振动和波动的运动规律的方程一般形式：设

u=u(x,y,z,t)简记为：（a为常数）拉氏算符也称：双曲型方程（HyperbolicEquation）2.输运方程：描述热传导和物质扩散规律的方程一般形式：也称：抛物型方程（ParabolicEquation）：双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的,有时也称为发展方程.3.泊松方程和拉氏方程：描述各类稳定问题规律的方程一般形式：泊松方程拉氏方程它是描述物理现象中稳定（或平衡状态）过程规律偏微分方程.在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律。借助算子的语言，以上各类方程可统一写成对于波动方程：对于输运方程：对于稳定场方程：L为线性算子:满足L(c1u1+c2u2)=c1Lu1+c2Lu2其中c1,c2是常量方程还可直接由实验中总结出来（麦克斯韦方程组）或由某些假设推出来（薛定谔方程）要求：学会从物理、工程规律推导方程的基本方法由已知的物理/工程规律可推导出来这三类方程。数学建模---数学物理定解问题从一些典型的物理、工程问题中导出二阶线性偏微分方程．为了说明物理模型，加强对模型物理、工程意义的描述.对主要类型的物理、工程现象均详细地给出了数学物理方程的建立方法,切实加强数学建模能力的训练和提高.数学建模的基本物理思想在科学技术和生产实际中常常要求研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程。【例】静电场（或电磁波）的电场强度或电势在空间中的分布，

声场中的声压在空间和时间中的变化情况，半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中怎样分布并怎样随时间而变化等等。定解条件：

边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，即问题的特殊性(个性)。数学物理方程的建立及其求解的一般步骤将物理、工程问题转化为数学模型：对物理、工程问题根据相关的物理、工程定律建立相应的数学模型，也就是将物理或工程问题归结成数学上的定解问题.解定解问题,也就是用数学方法求出满足方程和定解条件的解;验证模型的正确性并理解模型的物理、工程意义：对所得解通过数学的论证和客观实践的检验鉴定其正确性，并将所得的解作适当的物理意义解释，从而理解遵循同一类方程的普遍物理模型.（1）牛顿（Newton）第二定律:F=ma；（2）胡克（Hooke）定律在弹性限度内，弹性体的张应力和弹性体的形变量成正比．

即张应力＝杨氏模量(E)×相对伸长.（3）热传导的傅里叶定律：在dt时间内，通过面积元dS流入小体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度梯度成正比，也与dS和dt成正比，即：式中k是导热系数，由物体的材料决定．常用物理定理概述返回返回（4）牛顿(Newton)冷却定律:单位时间内从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比,即：

这里u1是外界媒质的温度.h为比例系数．(5)扩散定律即斐克定律:单位时间内扩散流过某横截面的杂质量m与该横截面积S和浓度梯度成正比，即：式中D为扩散系数，负号表示扩散是向着杂质浓度减少的方向进行的。返回返回（6）静电场中的高斯(Gauss)定理:通过任意闭合曲面的电场强度通量，等于这个闭合曲面所包围的自由电荷量的1/ε倍。即其中，ε为电荷所处媒质的介电常数，ρ为电荷体密度。

补充：拉普拉斯算符令（拉普拉斯算符）有时记记下标2是为了强调二维下标3是为了强调三维第七章数学物理方程定解问题7.2定解条件7.3数学物理方程的分类(自学）§7.1三类数学物理方程的导出7.4达朗贝尔公式、定解问题（不讲）（弦的一维自由横振动）一根均匀柔软的细弦，平衡时将其绷紧，考察它沿垂直于弦方向的微小振动。1、均匀弦的微小横振动§7.1三类数学物理方程的导出推导过程：（1）建立坐标系：选择弦平衡时绷紧的直线为ox轴。（2）确定描述状态的物理量：u(x,t)

u(x,t)—弦上位于x点在任意t时刻偏离平衡位置的横向位移。（3）弦运动所遵循的物理规律：弦上任意一小段可视为质点，服从牛顿第二定律①弦是均匀的——密度为一常量

mg<<T（弦中的张力）——

重力可忽略不计，同时忽略空气阻力③弦是完全柔软体——（无抗弯力）张力沿切线方向④弦做微小振动——弦的伸缩量ΔS≈0(ds～dx）（4）简化假设：xx+xxu弦的横向位移为u(x,t)(5)导出方程（小块分析法）：考虑微小横振动xx+xxu记xx+xxu《高数》下册P63偏导数的定义均匀弦的受迫横振动如果各点受到一个垂直方向的外力F(x,t)

x的作用，其中：F(x,t)为单位长度上受到的外力。推导过程相同，结果得：一维波动方程单位质量所受的力(力密度)杆长方向的纵向振动位移所遵从的运动规律：

对于一根杆，只要其中任意一小段有纵向移动，必然使它的临近段压缩或伸长，这邻近段的压缩或伸长又使得它自己的相邻段压缩或伸长······。这样一来，任一小段的纵向振动必然传播到整根杆．实际上，这种振动的传播就是波．2、均匀杆的纵振动细杆分成许多段（研究B段）t时刻，某点的纵向位移为t时刻，B段伸长相对伸长为事实上，相对伸长是位置的函数，如B段两端：相对伸长由胡克定律，B两端的张应力（单位横截面的力）分别为B段运动方程为记对于均匀杆，E和ρ都是常数。不同的物理过程，可能有相同的泛定方程。如：传输线方程（电报方程）均匀薄膜的微小横振动方程流体力学与声学方程电磁波方程尽管它们的物理本质根本不同，但是这些方程数学形式与弦振动方程和杆纵振动方程完全一样。3、扩散方程由于浓度不同引起的分子运动扩散流强度q

，即单位时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度

u(单位体积内的粒子数）

的梯度成正比D为扩散系数。负号表扩散方向与浓度梯度相反。(扩散定律/斐克定律)大小x方向左表面，dt时间流入六面体的流量为流出六面体的流量为净流入量为x方向净流入量为同理可以求得y方向净流入量为以及z方向净流入量为则六面体净流入量如六面体内无源和汇，则dt时间内粒子增加数为该增加数等于六面体净流入量，即于是得到三维扩散方程：如果扩散系数D在空间中是均匀的，则上式可以简化为这里a2=D。如果仅在x方向有扩散，则有即如六面体内有源或汇，则需进一步考虑以下两种情况：第二种情况，若单位时间内单位体积中产生的粒子数为b2u，则即第一种情况，若单位时间内单位体积中产生的粒子数为F(x,y,z,t)与u无关4、热传导方程第一种情况：系统内无热源（热传导仅由物体内部温度不均匀所引发）如果物体内各点的温度不一样，则物体内部就会有热传导现象发生，即热量会从温度高的地方流向温度低的地方。热传导的结果使物体各点温度发生变化，我们的任务就是要推导温度变化所满足的偏微分方程。设有一根横截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热。u(x,t)为x处t

时刻的温度，

为杆密度。xxx+x热传导的傅里叶定律：单位时间内流过单位面积的热量q(热流强度量）与温度的梯度成正比，即

（k为热传导系数）一维情况下有大小

x方向左表面，dt时间流入圆柱体的热量为dt时间流出圆柱体的热量为xxx+xdt时间净流入的热量为

这里认为热传导系数k为常数。u(x,t)为x处t

时刻的温度，

为杆密度xxx+xdt时间内引起小段dx温度升高所需热量为由能量守恒定律：dt流入dx内的净热量＝

体元dx温度改变du所吸收（放出）的热量

即：各向同性均匀物体，当