线性代数 特征值与特征向量

第六章特征值与特征向量向量的内积方阵的特征值与特征向量实对称矩阵的相似矩阵相似矩阵

向量的内积向量的内积与长度标准正交基施密特正交化方法两向量的夹角正交矩阵与正交变换一、向量的内积与长度定义1设有n维向量记则[x,y]称为向量x与y的内积注意（1）按矩阵乘法有：（2）内积就是几何向量的数量积之推广。内积具有下列运算性质：设x,y,z为n维向量，为实数，则有：（对称性）（线性性）（正定性）定义2为n维向量x的长度记则称称x为单位向量。特别地，设有n维向量（或模，或范数）例如4维向量的长度为：为单位向量而向量向量的长度有下述性质：1）非负性：3）三角不等式：2）齐次性：另外，由向量的内积、长度及其性质不难证明下述施瓦茨不等式：式中的等号仅当向量线性相关时才成立。定义3则称θ为n维向量x与y的夹角。由上述施瓦茨不等式易得：于是有下面的定义：二、两向量的夹角记例1已知4维向量求：向量的夹角。解故所求向量的夹角为：三、标准正交基定义4称向量x与y正交。显然，零向量与任何向量正交。定义5一组两两正交的非零向量，叫正交向量组。如上述例1中的向量就正交。线性无关。

定理1如果n维向量为正交向量组，左乘上式两端，得类似可证证明线性无关。于是若向量空间V的一组基中向量两两正交，定义6则称这组基为向量空间V的正交基。特别地，由单位向量组成的正交基叫做标准正交基（或规范正交基）例如是空间的标准正交基。一般地，向量空间的一个基不一定是规范正交基。由向量空间V的一个基，求其一个规范正交基，就是要找一组两两正交的单位向量上述问题称为把这个基规范正交化。具体操作方法如下：如此归纳下去有：把基化成标准正交基的具体步骤：四、施密特正交化方法先正交化：再标准化（单位化）：是向量空间V的标准正交基。例2试把下列向量组化为标准正交向量组。解令单位化得：解再把它们单位化，取五、正交矩阵与正交变换若n阶方阵A是满足则称A是正交矩阵。定义7故有：方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列向量组构成标准正交向量组则上述结论对A的行向量组也成立。例如矩阵P是正交矩阵称为正交变换。若P是正交矩阵，则线性变换y=Px定义8内积向量的长度小结[x,y]=向量正交两向量的夹角施密特正交化方法证明对称矩阵A为正交矩阵的充要条件是证明先证必要性可知：再证充分性可知：故A为正交矩阵。练习思考题正交变换有何特性？保持向量的长度不变。特征值与特征向量的概念

特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的求法第二节方阵的特征值与特征向量设A是n阶方阵，如果数

和n维非零列向量x使关系式成立则称数为方阵A的特征值。的特征向量。一、方阵的特征值与特征向量定义6.1特征向量非零。注意：x称为方阵A的对应于特征值非零列向量如对及则数是方阵A特征值,是方阵A的对应于特征值2的特征向量有这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，即(3)二、特征方程与特征根它有非零解的充分必要条件是其系数行列式此式也可改写成因为显然，A的特征值就是其特征方程的根,也称特征根。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶方阵A有n个特征值。注意：三、特征向量的性质求方阵A的特征值和特征向量的步骤：

（1）求出特征方程的所有解，它们就是A的全部特征值（2）分别把A的每个特征值代入方程组得到分别求出它们的基础解系：则所有向量的非零线性组合就是A的属于的全部特征向量例4求A=的特征值与特征向量解（1）求特征值由则A的特征值和（2）求特征向量对于即：也即所以对应的特征向量可取为：因此属于特征值3的全部特征向量为对于即也即所以对应的特征向量可取为：其中k取遍所有非零数.因此属于的全部特征向量是例5求A的特征向量

解求特征值求特征向量对于,A的特征值（二重）和即：由于系数矩阵的秩为2，故基础解系只有一个因此属于的全部特征向量是非零解，解得对于

同上方法解得

其中k取遍所有非零数因此属于的全部特征向量是例6求

的特征值和特征向量

解求特征值

所以A的特征值为（二重）求特征向量将代入得解得基础解系：再将代入得因此，属于的全部特征向量就是取遍所有非零数。其中解得基础解系：(k取遍所有非零数)因此，属于的全部特征向量就是定理2属于不同特征值的特征向量一定线性无关。证设矩阵A的特征值为依次是与之对应的特征向量，下面证明它们各不相同,线性无关设有常数

使四、有关特征值的结论则

即

类推之：（k=0,1,2,…,m-1）有把上列各式合写成矩阵形式，得上式左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，各不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆。于是有所以向量组即（j=1,2,…,m）但故线性无关。是方阵A的特征值，故有向量于是：的特征值。则为方阵A的特征值，

的特征值。例7设类似：若是A的特征值，的特征值；则的特征值；其中小结解得特征值解得对应于特征值的特征向量相关结论：特征值与特征向量的求法１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．练习

证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于

的特征向量，则思考题相似矩阵的定义相似矩阵的性质利用相似变换将方阵对角化第三节相似矩阵称为对A进行相似变换

设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似其中可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。对A进行运算一、相似矩阵的概念定义6.2（1）自身性A~A（其中k是正整数）（5）若A~B，（2）对称性若A~B，则B~A（3）传递性若A~B，B~C，则A~C相似是关于A的多项式二、相似矩阵的性质k个特别地，若有可逆矩阵P,使为对角矩阵，即则，而对于矩阵有利用上述结论可以很方便计算矩阵A的多项式若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证明:因A与B相似，所以有可逆矩阵P,使

故定理6.2推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似是A的n个特征值。

又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值.对一个n阶方阵A，是否存在相似变换问题：矩阵P,使三、相似变换矩阵的求法若存在，如何找出这个矩阵？

讨论：把P用其列向量表示为也即反之,如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则P可逆，且满足那么令注意因为特征向量不唯一，所以上述矩阵P也是不唯一的。并且由上面的讨论即有：n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理6.3

如果n阶矩阵A的n个特征根互不相同,则A与对角矩阵相似。

推论

如果的特征方程有重根，此时不一定有

个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，

还是能对角化．例8判断下列实矩阵能否化为对角阵？解(1)得因为A有三个不同的特征值，所以由推论知A可对角化。解之得基础解系故不能化为对角矩阵.解(2)解(3)解之得基础解系求得基础解系例9

设

判断A是否可以对角化，若可以对角化，

为对角阵，并求求出