数字电子技术第1章 数字逻辑基础

数字电子技术第1章数字逻辑基础1.1数制1.2几种常用的编码1.3逻辑代数基础1.4逻辑函数的化简1.1数制1.1.1十进制数1.1.2二进制数1.1.3八进制数和十六进制数1.1.4不同数制之间的转换1.1.1十进制数数制就是人们计数的方式十进制数是由0~9十个不同的数码组成的，所以计数的基数数是10，超过9的数必须用多位数码表示，其计数规律是“逢十进一”。例如，十进制数369.12可以表示为上式等号的右边为该数的按权展开，102、101、100、10-1和10-2分别为百位、十位、个位、十分位和百分位的权，位数越高权值越大。任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(N)D=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)D=Kn-110n-1++K1101+K0100+K-110-1++K-m

10-m下标D表示十进制任意R进制只由0~（R-1）R个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值Ri，基数R，逢R进一。(N)R=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)R=Kn-1Rn-1++K1R1+K0R0+K-1R-1++K-m

R-m任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式。1.1.2二进制数只由0、1两个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值2i。基数2，逢二进一任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(N)B=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)B=Kn-12n-1++K121+K020+K-12-1++K-m

2-m下标B表示二进制1.1.3八进制数和十六进制数1.八进制数

八进制数中只有0,1,2,3,4,5,6,7八个数码，进位规律是“逢八进一”。各位的权都是8的幂。一般表达式八进制就是以8为基数的计数体制。式中下标O表示八进制数，Ki代表第i位的数码（0~7），8i表示第i位的权值；m和n为正整数，分别表示八进制数的整数和小数部分的位数。则八进制数5703.6可表示为

十六进制数中只有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B、C、D、E、F十六个数码，进位规律是“逢十六进一”。各位的权均为16的幂。2.十六进制一般表达式：式中下标H表示十六进制数，Ki代表第i位的数码（0~9和A、B、C、D、E、F），16i表示第i位的权值；m和n为正整数，分别表示十六进制数的整数和小数部分的位数。则十六进制数FB8.A可表示为常用数制对照表十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456701234567101112131415161789ABCDEF1.1.4不同数制之间的转换一、二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数1．二进制数转换成十进制数利用二进制数的一般表达式即可将二进制数转换成十进制数。例如2．八进制数转换成十进制数利用八进制数的一般表达式即可将二进制数转换成十进制数。例如3．十六进制数转换成十进制数利用二进制数的一般表达式即可将二进制数转换成十进制数。例如二、十进制数转换成二进制数1．十进制整数转换成二进制数十进制数转换成二进制数：整数部分小数部分整数部分的转换除2取余法：用二进制数的基数2去除十进制数，第一次相除所得余数为目的数的最低位K0，将所得商再除以基数，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目的数的最高位Kn-1。解：根据上述原理，可将(173)D按如下的步骤转换为二进制数由上得例1.1.1

将十进制数(173)D转换为二进制数。小数部分的转换乘2取整法：十进制小数乘以二进制数的基数2，第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。例1.1.2将十进制小数0.8125转换成二进制数。解：根据“乘2取整法”3．二进制数与十六进制数相互转换从低位到高位将整数部分每4位二进制数分为一组并代之以等值的十六进制数，同时从高位到低位将小数部分每4位数分为一组并代之以等值的十六进制数。若不足4位时，可在整数的最高位前和小数的最低位后补0构成4位。即可得到十六进制数。例1.1.3将二进制数111110.101011转换成十六进制数。解：若将十六进制数转换成二进制数，只需将十六进制数的每一位用等值的4位二进制数代替即可。例1.1.4将十六进制数转换成二进制数。解：4．二进制数与八进制数相互转换将二进制数转换成八进制数，可将二进制数分为3位一组，再将每组的3位二进制数转换成等值的1位八进制数即可。例1.1.5将二进制数11110.10101转换成八进制数。解：若将八进制数转换成二进制数，只需将八进制数的每一位用等值的3位二进制数代替即可。例1.1.6将八进制数转换成二进制数。解：5.十六进制的优点1）与二进制之间的转换容易；

2）计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至(1111)B=(15)D；八进制可计至(7777)O=(2800)D；十进制可计至(9999)D；十六进制可计至(FFFF)H=(65535)D，即64K。其容量最大。3）书写简洁。1.2几种常用的编码1.2.1二进制编码1.2.2二—十进制编码（BCD）1.2.3其他编码1.2.1二进制编码

若所需编码的信息有N项，则需要的二进制数码的位数n应满足如下关系

例如4位二进制码可以表示16个不同的数码，如表所示,常用的按8421权位排列的4位二进制编码表示的16个十进制数。1.2.2二—十进制编码（BCD）

二—十进制码就是用4位二进制数来表示1位十进制数中的0～9这10个数码，简称BCD码。十进制8421BCD码012345678900000001001000110100010101100111100010012421BCD码5421BCD码余三码8421b3b2b1b0位权0000000100100011010010111100110111101111000000010010001101001000100110101011110000110100010101100111100010011010101111002421b3b2b1b05421b3b2b1b0无权（2）各种编码的特点余３码的特点:a.当两个十进制的和是10时，相应的二进制正好是16，于是可自动产生进位信号,而不需修正。b.0和9,1和8,…..6和4的余３码互为反码,这对在求对于10的补码很方便。有权码：编码与所表示的十进制数之间的转算容易如(10010000)8421BCD=(90)Ｄ对于有权BCD码，可以根据位权展开求得所代表的十进制数。例如：[]BCD8421

0111()D

7=11214180+++=

[]()D

BCD2421

7112041211101=+++=

（3）求BCD代码表示的十进制数对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组BCD代码来表示。例如：不能省略！不能省略！（4）用BCD代码表示十进制数1.2.3其他编码1.格雷码

格雷码又称循环码。从表中的4位格雷码编码表中可以看出格雷码的每一位的状态变化都按一定的顺序循环。如果从0000开始，最右边一位的状态按0110顺序循环变化，右边第二位的状态按00111100顺序循环变化，右边第三位按0000111111110000顺序循环变化。可见，自右向左，每一位状态循环中连续的0、1数目增加一倍。由于4位格雷码只有16个，所以最左边一位的状态只有半个循环，即0000000011111111。

与普通的二进制代码相比，格雷码的最大优点就在于当它按照编码顺序依次变化时，相邻两个代码之间只有一位发生变化。这样在代码转换的过程中就不会产生过渡“噪声”。而在普通二进制代码的转换过程中，则有时会产生过渡噪声。例如，二进制代码0011转换为0100过程中，如果最右边一位的变化比其他两位的变化慢，就会在一个极短的瞬间出现0101状态，这个状态将成为转换过程中出现的噪声。而格雷码0010向0110转换过程中则不会出现过渡噪声。2．美国信息交换标准代码（ASCⅡ）

美国信息交换标准代码（AmericanStandardCodeforInformationInterchange，简称ASCⅡ码）是由美国国家标准化协会（ANSI）制定的一种信息代码，广泛地用于计算机和通信领域中。ASCⅡ码巳经由国际标准化组织（ISO）认定为国际通用的标准代码。

ASCⅡ码是一组7位二进制代码（b7b6b5b4b3b2b1b0），共128个，其中包括表示0〜9的十个代码，表示大、小写英文字母的52个代码，32个表示各种符号的代码以及34个控制码。1.3逻辑代数基础1.3.1基本逻辑运算1.3.2复合逻辑运算1.3.3逻辑函数的表达形式1.3.4逻辑代数的运算公式和规则1.3.1基本逻辑运算（一）逻辑变量取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。（二）基本逻辑运算逻辑与

逻辑或

逻辑非

逻辑符号逻辑表达式F=A

B=AB与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑运算开关A开关B灯F断断断合合断合合灭灭灭亮ABF101101000010ABF

只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生。UABF

与逻辑运算规则为逻辑符号或逻辑真值表或逻辑关系表或逻辑运算开关A开关B灯F断断断合合断合合亮亮亮灭ABF101101001110决定某一事件的条件有一个或一个以上具备，这一事件才能发生。逻辑表达式F=A+BABFUFAB≥1

或逻辑运算规则为非逻辑真值表非逻辑关系表非逻辑运算开关A灯FAF当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。逻辑表达式F=AUFAR断合亮灭1001逻辑符号ABF1非逻辑运算规则为与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算F3=AB+CDABF1

ABF2≥1ABF3CD≥1

1.3.2复合逻辑运算ABF101101001100逻辑表达式F=A

B=AB+AB

ABF=1逻辑符号逻辑表达式F=ABABF101101000011

异或运算

同或运算“

”异或逻辑运算符=A

BABF=1逻辑符号ABF=1“⊙”同或逻辑运算符1.3.3逻辑函数的表达形式

如果以逻辑变量作为输入，以运箅结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。因此，输出与输入之间是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作一、逻辑真值表

对于逻辑函数将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即为逻辑真值表，简称真值表。例1.3.1用真值表描述三个人表决，原则是少数服从多数。解：设三个人为A、B、C，同意为1，反对为0；表决结果为Y，通过为1，否决为0。真值表如表所示。ABCY00000100110111100101011111011000若有N个输入变量，则应有个对应状态，应有个输出状态。

二、逻辑函数表达式

将输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑代数式，就得到了所需的逻辑函数式。常见的逻辑函数表达式有与—或例如

五种常用表达式“与―或”式“或―与”式“与非―与非”式“或非―或非”式“与―或―非”式=AB+AC基本形式三、逻辑图将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以画出表示函数关系的逻辑图，如图所示。Y=A(B+C)四、波形图如果将逻辑函数输人变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了表示该逻辑函数的波形图，如图所示。这种波形图也称为时序图。五、各种表示方法间的相互转换1．真值表与逻辑函数式的相互转换由真值表写出逻辑函数式的一般方法：①找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合。

②每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写为原变量，取值为0的写为反变量。

③将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。

由逻辑式列出真值表只需将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，列成表，即可得到真值表。解：先将输入变量A、B、C取值，然后进行或运算和与运算。真值表如表。例1.3.3将逻辑表达式写成真值表。

2．逻辑函数式与逻辑图的相互转换

从给定的逻辑函数式转换为相应的逻辑图时，只要用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们连接起来，就可以得到所求的逻辑图了。

例1.3.4已知逻辑函数为，画出其对应的逻辑图。

解：将式中所有的与、或、非运算符号用图形符号代替，并依据运算优先顺序将这些图形符号连接起来，就得到了图所示的逻辑图。

从给定的逻辑图转换为对应的逻辑函数式时，只要从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的输出逻辑式，就可以在输出端得到所求的逻辑函数式了。

例1.3.5已知逻辑函数的逻辑图如图所示，试求它的逻辑函数表达式。

解：根据图(a)所示逻辑图从输入到输出逐级逐个写出逻辑运算图形符号的逻辑关系式，如图(b)所示，最后可得逻辑函数表达式3．波形图与真值表的相互转换

在从巳知的逻辑函数波形图求对应的真值表时，首先需要从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到了所求的真值表。

真值表ABL0001010111101.3.4逻辑代数的运算公式和规则一、逻辑代数基本公式A+0=AA+1=1A0=0A1=AA

A=0

A+A=1A

A=AA+A=AA

B=B

AA+B=B+A

(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A