2024届一轮复习人教A版 第二章函数导数及其应用第十二讲导数与函数的极值最值 课件（48张）

第十二讲导数与函数的极值、最值课标要求考情分析1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.会求函数在闭区间上的最大值、最小值1.从内容上看，函数的极值、最值常与方程、不等式相结合命题，应强化学生的应用意识.2.从考查题型上看，题型一般为解答题，而且是必考，难度较大1.函数的极值

(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.

(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，

f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

[注意]极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2.函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【名师点睛】(1)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值.(2)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.

考点一利用导数解决函数的极值问题 考向1根据函数图象求极值问题

[例1](2022年郑州市模拟)设函数f(x)在

R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图2-12-1所示，则下列结论中一定成立的是()图2-12-1A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.答案：D

【题后反思】由图象判断函数y＝f(x)的极值时，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.考向2求已知函数的极值[例2]已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况.解：∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)(ex－2a)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln2a(a＞0).故f(x)无极值.x(－∞，ln2a)ln2a(ln2a，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值况如下表：故f(x)有极大值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2，极小值f(1)＝a－e.x(－∞，1)1(1，ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值下表：故f(x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2.【题后反思】利用导数研究函数极值问题的一般流程考向3已知函数极值求参数的值或范围极大值，则a的取值范围是________________.答案：(－9，0)∪(0，1)【题后反思】

(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)某点的导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

【考法全练】

1.(考向1)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数g(x)＝(log3x－1)f′(x)的部分图象如图2-12-2所示，则下列说法中正确的是()A.f(x)有极小值f(6)，极大值f(1)B.f(x)有极小值f(6)，极大值f(10)C.f(x)有极小值f(1)，极大值f(3)和f(10)D.f(x)有极小值f(1)，极大值f(10)图2-12-2解析：观察题图可知，当0＜x＜1时，g(x)＞0，log3x－1＜0，则f′(x)＜0；当1＜x＜3时，g(x)＜0，log3x－1＜0，则f′(x)＞0；当3＜x＜10时，g(x)≥0，log3x－1＞0，则f′(x)≥0；当x＞10时，g(x)＜0，log3x－1＞0，则f′(x)＜0.

综上所述，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，10)上单调递增，在(10，＋∞)上单调递减，所以f(x)有极小值f(1)，极大值f(10).故选D.答案：D答案：B(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值.所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>lna，所以f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<lna，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值f(lna)＝lna，但是无极大值.综上所述，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)有极小值lna，但是无极大值.考点二利用导数求函数的最值

[例4]已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由.(2)满足题设条件的a，b存在.

①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝b＝－1，最大值为f(1)＝2－a＋b＝1，解得a＝0.

②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)＝b＝1，最小值为f(1)＝2－a＋b＝－1，解得a＝4.

与0＜a＜3矛盾.

综上所述，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0，1]上的最小值为－1，最大值为1.【规律方法】

(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.

(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.【变式训练】已知函数f(x)＝lnx－ax－2(a≠0).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有最大值M，且M>a－4，求实数a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝lnx－ax－2(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.因此有－lna－3>a－4，得lna＋a－1<0，设g(a)＝lna＋a－1，所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以g(a)<g(1)，得0<a<1，故实数a的取值范围是(0，1).⊙利用导数研究生活中的优化问题利用导数研究生活中的优化问题，主要是建立数学模型，利用导数求最值.

[例5](2021年南通市模拟)如图

2-12-3所示，现有一张边长为10cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形ADA1F1，BD1B1E，CE1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角)，然后把三个矩形A1B1D1D，B1C1E1E，A1C1FF1折起，构成一个以三角形A1B1C1

为底面的无盖正三棱柱. (1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；(2)求所折成的正三棱柱的体积的最大值.图2-12-3【反思感悟】(1)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：①设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；②求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和