高二第一节空间向量及其运算讲义（原卷版）

空间向量及其运算一、空间向量的概念及线性运算考点梳理：（1）定义：在空间，既有大小又有方向的量叫做空间向量．（2）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段来表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.（3）特殊向量：名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相同而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量（4）线性运算：空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.感悟与升华：（1）空间向量的表示以及零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量等概念与平面向量的表示以及相应概念是相同的：（2）空间向量的线性运算方法与平面向量的相应运算方法相同，只是从平面内的运算即二维空间扩展到了三维空间进行运算.例题分析例1、（1）（2022·广东肇庆·校考模拟预测）下列命题中是假命题的是（

）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果a=0，则D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同（2）关于空间向量的命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等，方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则．其中所有假命题的序号是．点睛：相等向量的模相等，方向相同；共线向量方向相同或相反；相反向量的模相等，方向相反．例2、（1）（2022·东莞·高二期末）如图，在平行六面体中，（

）A.AC1 B． C． D．（2）（2022·广东惠州·高二期末）如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（

）A． B． C． D．（3）（2022·深圳市罗湖外语学校高二期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（

）A． B．C． D．例3、（1）（2022·广东佛山·高二期末）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（

）A． B．C． D．（2）（2022·广东深圳·高二期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．（3）（2022·广东·红岭中学高二期末）如图，空间四边形中，，，，且，，则（

）B．D．（4）（2023春·江苏淮安·淮阴中学高二联考）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．例4、（2022春·陕西商洛·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A．34 B．1 C．54 二、共线向量定理、共面向量定理及其应用考点梳理1、共线向量定理：对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使．2、共面向量定理：如果两个空间任向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（），使．推论：（1）已知是空间任意一点,则点三点共线的充要条件是：；（2）已知是空间任意一点,若三点共线，则存在实数满足，使得；（3）已知空间任意一点和不共线的三点,则点位于平面内的充要条件是存在实数使得；（4）已知空间任意一点和不共线的三点,则点位于平面内的充要条件是存在实数满足，使得.说明：（1）共线向量定理的作用：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线；

=3\*GB3③求参数.（2）共面向量定理的作用：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。=3\*GB3③求参数.例题分析例5、若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（）A．P∈直线AB B．P∉直线ABC．P∈线段AB D．以上都不对例6、（2022·高二单元测试）对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P､A､B共线的是（填序号）.①；②；③；④.例7、（2022·河南·范县第一中学高二阶段练习）（多选题）下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有B．“”是“、共线”的充要条件C．若、共线，则与所在直线平行D．对于空间任意一点O以及不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．★综合运用能力提高例8、（2023秋·湖北·赤壁一中高二联考）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面内（包含边界），若，则下列结论正确的是（

）A．若，则∥平面 B．若，则C．当最小时，