数学北师大版选修1-1训练模块综合测评

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:∀x∈R,x≥1,则命题p为()A.∀x∈R,x≤1B.∃x∈R,x<1C.∀x∈R,x≤1D.∃x∈R,x<1解析:全称命题的否定是特称命题.答案:B2.已知a=(2,1,3),b=(4,2,x),c=(1,x,2),若(a+b)⊥c,则x等于()A.4 B.4 C.12 D.解析:∵a=(2,1,3),b=(4,2,x),c=(1,x,2),a+b=(2,1,x+3),且(a+b)⊥c,∴(a+b)·c=0,即2x+2(x+3)=0,解得x=4.故选B.答案:B3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为()A.18 B.18 C.8 D解析:由y=ax2得x2=1ay∴1a=8,∴a=1答案:B4.(2017天津高考)设x∈R,则“2x≥0”是“|x1|≤1”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:∵x=3满足2x≥0,但不满足|x1|≤1,∴“2x≥0”不是“|x1|≤1”的充分条件.若|x1|≤1,则1≤x1≤1,即0≤x≤2,可得2x≥0,即“2x≥0”是“|x1|≤1”的必要条件,故“2x≥0”是“|x1|≤1”的必要而不充分条件.故选B.答案:B5.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dB.p:a>1,b>1,q:f(x)=axb(a>0且a≠1)的图像不过第二象限C.p:x=1,q:x2=xD.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为增函数解析:由于a>b,c>d⇒a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定推出a>b,且c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当a>1,b>1时,函数f(x)=axb不过第二象限,当f(x)=axb不过第二象限时,有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不必要条件.C中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条件.答案:A6.(2017全国Ⅱ高考)若a>1,则双曲线x2a2y2=1的离心率的取值范围是A.(2,+∞) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,2)解析:由题意得e2=c2a2=a因为a>1,所以1<1+1a2<所以1<e<2.故选C.答案:C7.若当x=2时,函数f(x)=ax3bx+4有极值43,则函数的解析式为(A.f(x)=3x34x+4B.f(x)=13x2+C.f(x)=3x3+4x+4D.f(x)=13x34x+解析:∵f(x)=ax3bx+4,∴f'(x)=3ax2b.由题意得,f解得a=13,b=4.∴f(x)=答案:D8.(2017天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形A.x24-y212=C.x23y2=1 D.x2y解析:∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,∴c=2,ba=tan60°,a2+b2答案:D9.若函数f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是()A.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数B.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数C.∃a∈R,f(x)是偶函数D.∃a∈R,f(x)是奇函数解析:f'(x)=2xax2,故只有当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上才是增函数,因此A,B不对;当a=0时,f(x)=x2是偶函数,因此C对;D答案:C10.(2017全国Ⅲ高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0A.63 B.33 C.23解析:以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bxay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb整理,得a2=3b2,即a2=3(a2c2),所以c2a2=23,从而答案:A11.若不等式2xlnx≥x2+ax3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是()A.(∞,0) B.(∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞)解析:由2xlnx≥x2+ax3,得a≤2lnx+x+3x,设h(x)=2lnx+x+3x(x>0),则h'(x)=(x+3)(x-1)x2.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4.所以a≤h(x)min=答案:B12.已知点P1,32是椭圆x24+y23=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足PA+A.12 B.22 C.12解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵PA+PB=3PO,点P∴x=3-1∴x1+x2=1,y1+y2=32把A,B代入椭圆方程,得3两式相减,得3(x1+x2)(x1x2)+4(y1+y2)(y1y2)=0,∴y1-y∵x1+x2=1,y1+y2=32∴kAB=y1-y2x1-x答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017全国Ⅲ高考)双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=3解析:由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±3ax.由题意得3a=35答案:514.若命题“存在实数x∈[1,2],使得ex+x2+3m<0”是假命题,则实数m的取值范围为.

解析:∵命题“存在实数x∈[1,2],使得ex+x2+3m<0”是假命题,即命题“任意实数x∈[1,2],使得ex+x2+3m≥0”是真命题,即ex+x2+3≥m.设f(x)=ex+x2+3,则函数f(x)在[1,2]上为增函数,其最小值为f(1)=e+1+3=e+4,故m≤e+4.答案:(∞,e+4]15.(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若解析:抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x消去x,得a2y22pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2所以该双曲线的渐近线方程为y=±22x答案:y=±2216.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数)在[3,3]上有最小值3,那么f(x)在[3,3]上的最大值是.

解析:f'(x)=3x2+6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.又∵f(0)=a,f(3)=a,f(2)=a+4,f(3)=54+a,∴f(x)的最小值为a,最大值为54+a.由题可知a=3,∴f(x)的最大值为57.答案:57三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:x26x+5≤0,q:x22x+1m2≤0(m>0).(1)若m=2,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q充分不必要条件,求实数m的取值范围.解(1)由x26x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5.当m=2时,q:1≤x≤3.若p∧q为真,p,q同时为真命题,则1≤x≤5,-1≤x≤3(2)由x22x+1m2≤0,得q:1m≤x≤1+m.∵p是q充分不必要条件,∴[1,5]⫋[1m,1+m],∴m>0,1-∴实数m的取值范围为m≥4.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax243ax+b,f(1)=2,f'(1)=1(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程.解(1)f'(x)=2ax43a由已知得f'(1∴f(x)=32x22x+5(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y2=x1,即xy+1=0.19.(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lgax2-x+a16的定义域为R;命题q:不等式3x(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;(2)如果命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题,则有:①当a=0时,定义域为{x|x<0},不符合题意;②由a>0,1因此,实数a的取值范围为(2,+∞).(2)若命题q是真命题,则不等式3x9x<a对一切正实数x均成立.令t=3x,t>1,y=tt2.当t=1时,ymax=0,∴a≥0.若命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则p,q一真一假.①若p真q假,则a>2,a②若p假q真,则a≤2,a≥0,得0综上,实数a的取值范围为0≤a≤2.20.导学号01844063(本小题满分12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:OM·OP(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点.若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(1)解a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2,∴椭圆方程为x24+(2)证明C(2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则OP=(x1,y1),OM=(2,y0).直线CM:y=y04(x+2),即y=y04x+12y0,代入椭圆方程x2+2得1+y028x2+12y∵x1=12·4(y02∴y1=8y∴OP=∴OP·OM=4(y02(3)解设存在Q(m,0)满足条件,则MQ⊥DP.MQ=(m2,y0),DP=则由MQ·DP=0得4y02y02从而得m=0,∴存在Q(0,0)满足条件.21.导学号01844064(本小题满分12分)(2017全国Ⅲ高考)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤34a解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+2ax+2a+1=(若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈0,-12a时,f'(x当x∈-12a,+∞时,f'故f(x)在0,-12a单调递增,(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在x=12a取得最大值,最大值为f-12a=所以f(x)≤34a2等价于ln-12a1即ln-12a+1设g(x)=lnxx+1,则g'(x)=1x1当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln-12a+1即f(x)≤34a22.导学号01844065(本小题满分12分)(2017天津高考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b又由b2=a2c2,可得2c2+aca2=0,即2e2+e1=0.又因为0<e<1,解得e=12所以,椭圆的离心率为12(2)①依题意,设直线FP的方程为x=myc(m>0),则直线FP的斜率为1m由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+即x+2y2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2y=3c即点Q的坐标为(2由已知|FQ|=32c,有(整理得3m24m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为3②由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以