第八节函数与方程

第八节函数与方程学习要求:1结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系2结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在性定理1函数零点的概念1定义:对于函数y=f,把使①

f=0

的实数叫做函数y=f的零点2意义:方程f=0有实根⇔函数y=f的图象与②

轴

有交点⇔函数y=f有③

零点

必备知识

·

整合

2函数零点的判定零点存在性定理一般地,如果函数y=f在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

④

fa·fb<0

,那么函数y=f在区间⑤

a,b

内有零点,即存在c∈

a,b,使得⑥

fc=0

,这个⑦

c

也就是方程f=0的根我们把这一结论

称为零点存在性定理▶提醒1函数的零点不是点,是方程f=0的实根2函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断

函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函

数在这个区间上存在零点的充分不必要条件=a2bca>0的图象与零点的关系

Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

与x轴的交点⑧

(x1,0),

(x2,0)

⑨

(x1,0)

无交点零点个数⑩

两个

一个

无

1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1函数的零点就是函数的图象与轴的交点 2若函数y=f在区间a,b上有零点函数图象连续不断,则fa·fb<0 

3只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值 4二次函数y=a2bca≠0在b2-4ac<0时没有零点 5函数f=lg的零点是1,0 ✕✕✕√✕2新教材人教A版必修第一册P144T1改编下列各图象表示的函数中没有零

点的是 

D3新教材人教A版必修第一册P144T2改编根据表格中的数据,可以断定方程

e-2=0e≈272的一个根所在的区间是 x-10

123ex0.3712.727.4020.12x+212345A-1,0

B0,1

C1,2

D2,3C4新教材人教A版必修第一册P155T2改编函数f= 的零点个数为 

A0

B1

C2

D3A=2mn,若fa>0,fb>0,则函数f在区间a,b内 A一定有零点

B一定没有零点C可能有两个零点

D至多有一个零点C考点一判断函数零点的个数关键能力

·

突破

典例112020湖南怀化高三期末已知f是R上的偶函数,fπ=f,当0

≤≤ 时,f=sin,则函数y=f-lg||的零点个数是 A12

B10

C6

D522020河北石家庄二模已知函数f= 则y=ff-3的零点个数为 A3

B4

C5

D6BC解析(1)由f(x+π)=f(x)得函数周期是π,又f(x)是偶函数,且当x∈

时,f(x)=sinx,因此可得f(x)=|sinx|,y=lg|x|是偶函数,作出函数y=f(x)的图象与当x>0时,y

=lg|x|=lgx的图象,如图所示,

由图象可知,当x>0时,两函数图象共有5个交点,又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10,即函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.(2)易知函数y=f(f(x))-3的零点个数,即方程f(f(x))=3的实数根个数,设t=f(x),则f(t)=3,作出f(x)的图象,如图所示,

结合图象可知,方程f(t)=3有三个实根,t1=-1,t2=

,t3=4,则f(x)=-1有一个解,f(x)=

有一个解,f(x)=4有三个解,故方程f(f(x))=3有5个解,即y=f(f(x))-3的零点个数为5.名师点评函数零点个数的判断方法1直接求零点,令f=0,有几个解就有几个零点;2零点存在性定理,要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线,且fa·fb<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;3利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数12020贵州铜仁三模函数f=ln2的零点个数是 A0

B1

C2

D3B解析

因为y=lnx与y=x2均在(0,+∞)上为增函数,所以函数f(x)=lnx+x2至

多有一个零点,又因为f

=ln

+

=-1+

<0,f(1)=ln1+1=1>0,所以f

·f(1)<0,即函数f(x)在

上有一个零点.= 的零点个数为 A3

B2

C1

D0B解析

解法一:由f(x)=0得

或

解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.解法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.

考点二确定零点所在的区间典例21函数f=ln1- 的零点所在的区间是 A 

B1,e-1Ce-1,2

D2,e2设函数y=3与y= 的图象的交点为0,y0,若0∈n,n1,n∈N,则0所在的区间是1,2

C解析(1)因为函数f(x)=ln(x+1)-

在(0,+∞)上单调递增且连续,又f(e-1)=ln(e-1+1)-

=1-

<0,f(2)=ln(2+1)-

=ln3-1>0,即f(e-1)f(2)<0,所以函数f(x)=ln(x+1)-

的零点所在的区间是(e-1,2),故选C.(2)设f(x)=x3-

,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下作出函数y=x3与y=

的图象,如图所示.

因为f(1)=1-

=-1<0,f(2)=8-

=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).名师点评确定函数零点所在区间的方法:1解方程法:当对应方程f=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在

给定区间内2图象法:把方程转化为两个函数,看图象的交点的横坐标所在的区间3利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f在区间上的图象是否连

续,再看是否有fa·fb<0若有,则函数y=f在区间a,b内必有零点4数形结合法:通过画函数图象,观察图象与轴在给定区间上是否有交点来

判断<b<c,则函数f=-a-b-b-c-c-a的两个零点分别位于区

间Aa,b和b,c内

B-∞,a和a,b内Cb,c和c,∞内

D-∞,a和c,∞内A解析

∵a<b<c,∴fa=a-ba-c>0,fb=b-cb-a<0,fc=c-ac-b>0,即fafb<0,fbfc<

0由函数零点存在性定理可知在区间a,b,b,c内分别存在零点,又函数f是

二次函数,最多有两个零点,因此函数f的两个零点分别位于区间a,b和

b,c内2-2=0的根所在的区间为 A 

B C 

D B解析

设f(x)=2x+2x-2,可得f(x)是R上的增函数,因为f(0)=1-2=-1<0,f

=

-1>0,所以f(0)·f

<0,所以f(x)的零点在

上,即方程2x+2x-2=0的根所在的区间为

.考点三函数零点的应用典例312020广东海珠二模已知函数f= 函数g=m,若函数y=f-2g恰有三个零点,则实数m的取值范围是 A 

B C 

D A2多选题已知函数f= 若方程f=m有四个不同的实根1,2,3,4满足1<2<3<4,则下列说法正确的是 2=1

B  =1C34=12

4∈27,29BCD解析(1)由题意,画出函数f(x)=

的图象如下图所示:

y=f(x)-2g(x)恰有三个零点,即f(x)=2g(x)有三个不等实根,即f(x)的图象与g(x)=2mx的图象有三个不同交点,由图象可知,当直线斜率在kOA,kOB之间时,有三个交

点,即kOA<2m<kOB,所以-

<2m<1,可得-

<m<

.(2)作出函数f(x)的图象,方程f(x)=m有四个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点,如图所示:

由图象可知|log2(x1-1)|=|log2(x2-1)|,且1<x1<2<x2<3,所以log2(x1-1)=-log2(x2-1),即log2(x1-1)+log2(x2-1)=0,所以log2[(x1-1)(x2-1)]=0,即(x1-1)·(x2-1)=1,所以x1+x2=x1x2,所以

+

=1,故选项A错误,选项B正确;又x3,x4是方程

x2-6x+

=m(0<m<1)的两根,即x3,x4是方程x2-12x+29-2m=0的两根,所以x3+x4=12,x3x4=29-2m,因为方程f(x)=m有四个不同的实根,所以由图可知m∈(0,1),所以x3x4=29-2m∈(27,29),故选项C,选项D均正确.名师点评1已知函数的零点求参数,主要方法有:1直接求方程的根,构建方程不等式

求参数;2数形结合;3分离参数,转化为求函数的最值2已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数

的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围若函数f=2- -a的一个零点在区间1,2上,则实数a的取值范围是 

A1,3

B1,2C0,3

D0,2C解析

因为函数f(x)=2x-

-a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-

-a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,所以-a(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.直观想象——数形结合在解决函数零点问题中的应用学科素养

·

提升

2020天津,9,5分已知函数f= 若函数g=f-|2-2|∈R恰有4个零点,则的取值范围是 A ∪2 ,∞

B ∪0,2 C-∞,0∪0,2 

D-∞,0∪2 ,∞D解析

令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点.当k=-

时,h(x)=

=

,在同一直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象如图.

由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B;当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象如图所示.

此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C,故选D.

本题把函数的零点问题转化为了两个函数图象的交点个数问题,再借助

于函数的图象解决问题,这是解决函数零点问题最常用的方法,提升了直观想

象素养 = 若方程f-2m=0恰有三个不同的实数根,则实数m的取值范围是 A2,∞

B4,∞C2,4

D3,4A解析

画出函数f(x)的图象,如图所示.当x>0时,f(x)=x+

≥4.设g(x)=2m,则方程f(x)-2m=0恰有三个不同的实数根,即f(x)和g(x)=2m的图象有三个交点.由图象可知,2m>4,即m>2,故实数m的