椭圆的定义及其标准方程

211椭圆及其标准方程生活中的椭圆思考数学实验1取一条细绳，2把它的两端固定在板上的两个定点F1、F23用铅笔尖（P）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形1在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？3在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？F1F2F2F1P1由于绳长固定，所以点P到两个定点的距离和是个定值（2）点P到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离（一）椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：(2a>2c)MF2F1小结：椭圆的定义需要注意以下几点1平面上----这是大前提1，F2的距离之和是常数2a注意：>2c时,轨迹是（）椭圆=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点的线段．<2c时,无轨迹,图形不存在=0时,轨迹为圆．♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2Oxy解：取过焦点F1、F2的直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图设M,y是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2cc>0，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a2a>2c，则F1、F2的坐标分别是c,0、c,0xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标椭圆的标准方程的推导两边除以

得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，再平方焦点在y轴：焦点在轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx

图形方程焦点F±c，0F0，±ca,b,c之间的关系a2=b2c2MF1MF2=2a2a>2c>0定义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1哪个分母大，焦点就在哪个轴上。练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标。答：在轴（-3，0）和（3，0）答：在y轴（0，-5）和（0，5）答：在y轴。（0，-1）和（0，1）先定位，再定量口答：下列方程哪些表示椭圆？

0<b<9练一练：a>33、已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________5433,0、-3,06２0F1F2CD|CF1||CF2|=2a例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；解：∵椭圆的焦点在轴上∴设它的标准方程为∴所求的椭圆的标准方程为∵2a=10，c=4（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点解：∵椭圆的焦点在y轴上，由椭圆的定义知，∴设它的标准方程为又∵c=2∴所求的椭圆的标准方程为例2:如图，在圆解：设M,y,P0,y0所以M点的轨迹是一个焦点在轴上的椭圆。上任取一点P，过P作轴的垂线段的轨迹是什么？例3：若方程42y2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围。解：由42y2=1,可得因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以即：<4所以的取值范围为0<<4。例4、化简：答案：|MF1||MF2|=10分析：点,y到两定点0,