版正弦定理（步步高）

111正弦定理第一章§11正弦定理和余弦定理学习目标UEIMUBIAO1掌握正弦定理及其变形2了解正弦定理的证明方法3能运用正弦定理及三角形内角和定理解决简单的解三角形问题NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一正弦定理正弦知识点二正弦定理的变形2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC知识点三解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边，，叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做abc解三角形思考辨析判断正误SIAOBIANIPANDUANHENGWU1正弦定理对任意的三角形都成立2在△ABC中，若a>b，则必有sinA>sinB4在△ABC中，若sinA＝sin2B，则△ABC为等腰三角形√√××2题型探究PARTTWO一、已知两角和一边解三角形例1在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形解因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－B＋C＝180°－30°＋105°＝45°反思感悟2已知两角及一边解三角形的解题方法①若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边②若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边跟踪训练1在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，则△ABC最短边的边长等于√二、已知两边和其中一边的对角解三角形反思感悟已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法1首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值2如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一3如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论105°或15°∵0°<B<180°，a<b，∴B＝45°或135°，∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°三、三角形形状的判断例3在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos90°－B＝2sin2B＝sinA＝1，∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角∵A＝180°－B＋C，sinA＝2sinBcosC，∴sinB＋C＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sinB－C＝0又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形反思感悟判断三角形形状的常用方法1化边为角，将题目中的条件，利用正弦定理化边为角 ，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状2化角为边，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系如a＝b，a2＋b2＝c2，进而确定三角形的形状又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，∴△ABC为等腰直角三角形∴a2＝b2即a＝b，核心素养之直观想象HEINSUYANGHIHIGUANIANGIANG三角形中解的个数的判定典例根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解：1a＝，b＝，A＝120°；解方法一∵A>90°，且a>b，∴有一解，即这样的三角形是唯一的∵A>B，∴B＝45°∴有一解，即这样的三角形是唯一的∴b<asinB，无解，即不存在这样的三角形与0<sinA≤1矛盾，∴无解，即不存在这样的三角形2a＝60，b＝48，B＝60°；解方法一∵a＝7，b＝5，A＝80°，∴a>b，有一解，即这样的三角形是唯一的又∵b<a，∴B<80°，∴有一解，即这样的三角形是唯一的3a＝7，b＝5，A＝80°；∴bsinA<a<b，有两解，即符合条件的三角形有两个∴B>A，∴B有一锐角值和一钝角值，即有两解，即符合条件的三角形有两个4a＝14，b＝16，A＝45°素养提升1在已知三角形的两边及其中的一边所对的角解三角形时，在某些条件下会出现无解或多解的情形，那么我们判断的依据是什么呢？主要就是要遵循在三角形中两边之和大于第三边，依据这个我们可以推理出如下结论：在△ABC中，已知a，b和角A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与射线AB除去顶点A的交点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：

A为锐角A为钝角或直角

图形

关系式①a＝bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的个数一解两解无解一解无解我们可以总结为：先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后可由大边对大角来具体判断解的情况2判断和证明要掌握推理的基本形式和规则，形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质，突出体现逻辑推理的数学核心素养3随堂演练PARTTHREE1在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是12345√12345又∵A∈0，π，a>b，√√3在△ABC中，已知a＝，sinC＝2sinA，则c＝123454在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝60°，则角B＝1234530°所以B＝150°不合题意，应舍去，故B＝30°5在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sinBsinC，则△ABC的形状为三角形12345等边解析由sin2A＝sinBsinC和正弦定理，得a2＝bc整理得b－c2＝0，所以b＝c1知识清单：1正弦定理的推导2正弦定理及其表示形式，正弦定理的变形3利用正弦定理解三角形的几种题型4利用正弦定理及其变形判断三角形的形状2方法归纳：分类讨论，转化与化归3常见误区：1在解三角形时不注意讨论，从而产生漏解2因忽视大边对大角的条件而致错课堂小结ETANGIAOJIE4课时对点练PARTFOUR又0°＜B＜180°，∴B＝90°1在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝bsinA，则B等于A60° B90° C120° D150°√基础巩固1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°√3在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形√12345678910111213141516又B∈0，π，故B为直角，△ABC是直角三角形A30° B45° C60° D90°12345678910111213141516又∵0°<C<180°，∴C＝45°√12345678910111213141516√6在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为123456789101112131415167在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝12345678910111213141516∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B为锐角8△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，A＋acosB＝0，则B＝12345678910111213141516解析由正弦定理，得sinBsinA＋sinAcosB＝0∵A∈0，π，B∈0，π，∴sinA≠0，∴sinB＋cosB＝0，9在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形解根据三角形内角和定理知，C＝180°－A＋B＝180°－45°＋30°＝105°123456789101112131415161234567891011121314151611在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状为A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D不等边三角形综合运用12345678910111213141516√解析由正弦定理知c＝2RsinC，a＝2RsinA，故sinC＝2sinAcosB＝sinA＋B＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＝cosAsinB，即sinA－B＝0，所以A＝B故△ABC为等腰三角形12在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，＝5c，C＝2B，则cosC等于12345678910111213141516√解析因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知8b＝5c，C＝2B，所以8sinB＝5sinC＝5sin2B＝10sinBcosB，12345678910111213141516又cosB＞cos45°，所以B<45°，C＝2B<90°，13多选在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，且最大边是最小边的2倍，则C的大小为A30° B45°C60° D90°12345678910111213141516√√解析若最大边是b，由于B＝60°，则a＝b＝c，这与条件矛盾，故最大边可能为a或c若a＝2c，12345678910111213141516从而cosA＝0，因为0°<A<120°，所以A＝90°，此时C＝30°；若c＝2a，则同理可求得C＝90°，A＝30°综上，C的大小为30°或90°14在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为12345678910111213141516解析在△ABC中，B＝60°，c＝2，15在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＋bsinC－a－c＝0，则角B＝12345678910111213141516拓广探究解析由正弦定理知，12345678910111213141516因为sinA＝sinB＋C＝sinBcosC＋cosBsinC，2－bcosA＋acosB＝0的两根之积等