平面向量知识归纳和题型总结

章节分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有代数形式和几何形式的"双重身份”，能融数形于一体，是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合，形成知识交汇点•向■是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景是解决几何问题的有力工具，向量概念引入后，许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系僦如平行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础＞强化运算，重视运用，能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运篦并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几何运算和基本定理1•向量的相关概念冶TIf童'匪有大小盘有芳佝的童甲.1.■■■?.：土女.k「或甲有向娃段的起点与舞点的大写宇母表示如孫口哼口茧1方向是彳I意眦哮向量和-=fj旬星平行哙为1厂羊洼勺丘至平方洪逖向重77口馆応应牛尺門1「哼口生任何平方向重经过平稲后启、可脯瘫1同一条安“£匡叩丰三三刁栏n羽门茧.t0^T重址过平移怎臭鯛亜合屮记2；=-口相反向童1与向星丘长度相等•方向相反的向重,-L]7v.7nt=.-n^LF二L?丘星的模向車的大小月陆童的模帐度片记作:禺巫P2.向量的线性运算工在运箕；+£蘇运萬-加1三角麟则2.平行四佛则3■多丑法训理15三角恿陆肚同起点琏接两向量蜒点厉向扌前被拡向量卩1•欖娄誉订1=1IIa1:方习关吾0珞运3X^i=（e+^=j-ts结血+E）+c二门+区一巧口向重加伺生互丸逆运聲—►-b-1-f二-。二皿+:-二】li血;=丁…口」Aij+A)=:皿-?.i■+■■+—►仇+咖=5+3allb且同向:|lj4-6|=|l2-|jj；虑且反向:|a41=||a-|A|parb不平行|a-Fi＜匸|+可串3.向量的共线定理非零向量a与向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数入，使b=九a。——延伸结论:A,B,C三点共线oAB//ACO当且仅当有唯一壮R,使AB二九AC4•平面向量的基本定理_如果。©是一个平面内两个不共线向量，那么对这平面内的任一向量a,有且只有一对实数知禺__一格式-可编辑-感谢下载支持使:a二九e+九r，其中不共线的向量e,r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.11J二12__一-_练习：(1)已知e,是平面向量的一组基底,a=xe+yz,b=xe+yr,__12__11122122①若a=b当且仅当x=x且y=y•②若a=0,则x=x=0.121212(2)如图OA,OB为单位向量，IOC\=2*3，其中OA,OB的夹角为120。，OA,OC的夹角为30。。若OC=XOB+^OA，求九小的值。BS产BM5•—个常用结论:△ABC中，M为边BC的中点，则有:2AM=AB+AC.练习:设AABC的重心为点G，设AB=a,AC=b.试用a,b表示AG.典型例题分析：知识点一:基本概念例1.)内的所有向量都可以表示成1.如果一〈是平面a内两个不共线向量，那么下列各说法错误的有)内的所有向量都可以表示成九e+卩丁(尢小GR)可以表示平面a内的所有向量;平面a一1_2Xe+e(尢，卩gR)。TOC\o"1-5"\h\z12一一—对于平面a中的任一向量a使a=九e+卩e的九，》有无数多对；一__12一若向量Xe+卩e与Xe+卩e共线，则有且只有一个kgR,Xe+pe=k(Xe+pe)111鼻J1_222122……若实数X,p使Xe+pe=0，则X=p=0.12A.①②B.②③C.③④D.②练习:1)二判断下列命题的真假向量AB与向量CD为共线向量，则A,B,C,D四点共线.若AB=CD则四边形ABCD为平行四边形.若向量a〃b,bc则a||c.a,b是两个向量，则\a+b\<\a\+\b\当且仅当：,b不共线时成立知识点二:向量的线性运算例1.化简：⑶OA+0C+B0+CO;(6)AB-AD-DC;(1)AB+⑶OA+0C+B0+CO;(6)AB-AD-DC;(4)AB-AC+BD-CD;⑸OA-OD+AD;(7)NQ+QP+MN-MP.例2•如图，四边形ABCD,E,F分别为AD,BC的中点，求证:AB+DC=2EF.练习：(1)已知△ABC三个顶点A,B,C及平面内一点P，若PA+PB+PC=AB，则()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上巴P在线段BC上⑵设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任意一点测OA+OB+OC+OD=AOMB.2OMC.3OMD.4OM知识点三:平面向量基本定理和共线定理>►―>>>—>►►—>>>~*■~*■~*■例1.1)已知e,e为不共线向量,a=3e-2e,b=-2e+e,c=7e-4e用a,b表示c.12丄乙一丄2一一122)设e,e是两个不共线的向量，已知AB=2e+ke,CB=2e+3e,CD=2e-e若A,B,D三点共线,12121212求k的值.

uyord格式-可编辑-感谢下载支持例2.证明:平面内三点A,B,C共线存在两个均不为o的实数m,n,使OA=mOB+nOC,且m+n=1.练习:证明:平面内三点A,B,C共线°存在三个均不为0的实数l,m,n,^使lOA+mOB+nOC=0,^且l+m+n—0.向量数量积及坐标运算2)若a-b2)若a-b—b-c,则a—c4)(a土b)2—a2土2a-b+b26)0-a—0,0-a—0A.e—(0,0),e—(-2,1)12C.e—(2,-5),r—(-6,4)12B.e—(4,6),e—(6,9)1213D.e—(2,-3),e—(亍-)1224向量几何表示或运算向量运算与关系向量坐标表示或运算平行四边形法则或二角形法则向量加减法—>—>■a土b—(x土x,y土y)1212实数九与向量a的积是个向量，记作九a实数与向量的积九a—X(x,y)—(Xx,Xx)1112a-b—a]”]cos<a,b>数量积a-b―►―►a-b—xx+yy1212存在唯的实数九，使a—九b(b丰0)向量a//b(b主0)xy——^nxy—xyxy122122a-b—0―►—►向量a丄bxx+yy—01212a—\la^(a2—a2)―►向量的模aa—&x2+y2H11一子acosva,b>—=a-bb―►―►向量夹角＜a，＞-子xx+yycosva,b>—f12訂2Jx2+y2Jx2+y2V11*22AB//BCoAB-九BCA,B,C三点共线OA—xOB+yOC,且x+y—1良已知向量a,b,其中a-Sy1),b-宀y?):向量的坐标表示，实际是向量的代数表示•在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合了起来练习：1、判断下列命题的真假1)若向量a//b,b//c,则a//c•3)(a-b)-c—a-(b-c),5)a—boa—b8)已知a//b,a—3,b—4,则a在b方向上的投影为二、典型例题讲解例1:1)已知a—已知a—(4,2),b—(x,3).若a//b，则已知a—(4,2),b—(x,3).若a//b，则x—；若a丄b，则x—.已知A(4,1),B(7,-3),则与AB同向的单位向量是—，与AB平行的单位向量是已知点A(-1，5)和向量a=(2,3)，若AB=3a，则点B的坐标为已知a—(5,-5),b—(-6,-3),c—(1,8)，若a—mb+nc,求实数m,n.已知a—(1,0),b—(2,1)，则Ia+3bI—7)下列各组向量中，可以作为平面基底的是()wordword格式-可编辑-感谢下载支持(1)a在b方向上的投影(2)(3a-2b)・(a-2b)(3)a+b2)4、在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是()A.|AC|2=AC-ABB.|BC|2=BA-BCc.|AB|2=Ac-CdD|CD|2=(AC--BC)•|AB|23)已知向量e,e夹角为60o，|e|=2,|e=1,a=2e+7e,b=e+te若a与b的夹角为锐角，求t的12121212范围。-—►―►―>—►―►—►—►练习:1)已知向量a,b满足a=1,b=2,a—b=2,则a+b=2)在AABC中，已知AB=&BC=7,ZABC=120°,求边AC的长度例2:1)已知A(2,3),B(4,—3)，点P在线段AB的延长线上，且IAP1=|lPBI,求点P的坐标(若点P在直线AB上)2)在AABC中，点P在BC上，且Bp=2pC，点Q是AC的中点，若PA=(4,3),PQ=(1,5)，则BC=_例3:已知向量m=(a—sin0，—2),rn=(*,cos0).(I)当a=计，且m丄苏时,求sin20的值；(II)当a=0,且m〃n时，求tan0的值.解：(I)当a=¥时,m=(¥-sin0，—2),3分•/m丄n,由m-n=0,得sin0+cos0=<^3分2上式两边平方得1+sin20=2,因此,因此,sin20=—*6分(II)当a=0时,m=(—sin0,—1),9分由m〃n得sin0cos0=—即sin209分4212分•/sin20=2tan0,•••tan0=2+、3或2-飞12分1+tan20TOC\o"1-5"\h\z「33〜xx兀例4、已知向量a=(cos—x,sinx),b=(cos—,—sin).且xg[0,—]^2^2^2^2^2~►―►—►—►—>—►1)当a丄b时，求x的集合；2)求a+b;3)求函数y=a-b—4|a+b|的最小值4)求函数y=a-b—2九|a+b|的最小值5)若fC)=a-b—2九a+b的最小值是—㊁,求实数九的值.练习:1)设a,b是不共线的两非零向量，若|a|=|b|,且a,b夹角为60°,求t为何值时—tb|的值最小.33xx兀兀2)已知向量a=(cos2x,sin2x),b=(cos2,-sin2)且x丘[—芦].(1)求a•b及|a+b|；⑵若f(x)=a•b-|a+bI,求f(x)的最大值和最小值.word格式-可编辑-感谢下载支持向量与三角形平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件,在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.三角形之心一、外心.（下左图）三角形外接圆的圆心，简称外心.是三角形三边中垂线的交点.二、重心（下左图）三角形外接圆的圆心，简称外心.是三角形三边中垂线的交点.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.（下左图）三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.（下左图）三角形内切圆的圆心，简称为内心.是三角形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）知识点一、三角形形状与向量1、已知向量OP,OP,OP满足条件OP+OP+OP=0,且IOP1=OP1=1OP1=1，求证AP1231231231正三角形.2、O是AABC所在平面上的一点，若（OB—OC）-（OB+OC—20A）=0,则AABC是三角形..AbACac•bc3、已知非零向量AB,AC和BC满足（蔺+前）-BC=0且IACI.IBCI=「则AABC为.OB+0C—2OA,则AABC的形状为（4、若OB+0C—2OA,则AABC的形状为（A.等腰直角三角形B.A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形ABACABAC15、已知非零向量AB与AC满足（+）-BC=0且=，则△ABC为IABIIACIIABIIACI2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路分析：1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理，不妨先验证等边三角形，刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支，故选D.

__lword格式-可编辑-感谢下载支持_lABacabac2.由于+所在直线穿过AABC的内心，则由（+）•BC二0知，AB=AC（等腰三IABIIACIIABIIACIABAC1八兀角形的三线合一定理）；又二，所以ZA二〒，即厶ABC为等边三角形，故选D.IABIIACI23知识点二、三角形的“心”与向量重心在厶ABC中,AD为BC边上的中线，根据向量加法的平行四边形法则，可得AB+AC二2AD.这说明AB+AC所在的直线过BC的中点D,从而一定通过AABC的重心.另外，G为AABC的重心的充要条1—件是GA+GB+GC=0或°G=3（OA+OB+OC）,（其中O为AABC所在平面内任意一点），这也是两个常用的结论.例1.已知A,B,C是平面上不共线的三点，O是AABC的外心，动点P满足OP二1［（1-X）OA+（1-X）OB+（1+2九）OC）］（XgR），则P的轨迹一定通过AABC的（）A.内心B.垂心C.外心D.重心思路分析:取AB边的中点M,则OA+OB=2OM,由OP=3［（1-九）OA+（1-九）OB+（1+2九）OC）］（九eR）可得3OP=2OM+OC+2九（OC-OM）=3OM+（1+2九）MC,所以1+2九—MP=3MCGeR）,即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线，故选D.垂心TOC\o"1-5"\h\zABAC.在AABC中，由向量的数量积公式，可得（+）•BC二0，这说明IABIcosBIACIcosCABAC+所在直线是BC边上的高所在直线，从而它一定通过△ABC的垂心.IABIcosBIACIcosCABAC例：若动点P满足OP=OA+九（+）,九〉0,则点P轨迹一定通过AABC的IABIcosBIACIcosC（）A、外心B、内心C、垂心D、重心►►►►►►例2•点O是AABC所在平面内的一点，满足OA•OB二OB•OC二OC•OA，则点O是AABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点AAAA*>■•-•-思路分析：由OA•OB二OB•