重难点专题05 与几何意义有关的函数问题（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题05与几何意义有关的函数问题题型1类比斜率 1题型2类比两点间距离 5题型3类比点到直线距离 11题型4类比直线与曲线的位置关系 15题型5类比和差距离问题 18题型6绝对值中的距离问题 19题型7两曲线间点的距离 20题型1类比斜率形如nm的形式，用几何意义来理解【例题1】（2020秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知fx是定义在R上的增函数，函数y=fx-1的图象关于点1,0对称，若实数m，n满足等式fn-3A．2-23C．2-23【答案】C【分析】由函数fx是递增函数，且y=fx-1的图象关于点1,0对称，可得函数再结合fn-3+f4m-【详解】fx是定义在R上的增函数，且函数y=fx-1的图象关于点所以函数fx又fn-3所以n-3+4m-m即m-22画出不等式组表示的图形，如图所示，所以nm表示圆弧上的点m,n与点0,0所以结合图象可得：nm的最大值是直线OA的斜率，为3-0最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，则n=kmm-2消去n，得m-22整理得k2令Δ=6k+4化简得3k解得k=2±2应取k=2-2所以nm的取值范围是：2-故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数与方程的综合运用，考查数形结合思想．解题分两部分，一部分是由函数单调性与奇偶性化fn-3+f4m-m2-3=0【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=sinA．-22 B．-1 C．-【答案】B【分析】对fx变形，得到f(x)=-11+(1-cosx1-sinx) 2，当【详解】当sinx=1，当sinx≠1时,因为f(x)=令g(x)=1-cosx1-sinx，g(x)的含义是点(1,1)所以-1⩽-11+g(x) 综合得，f(x)∈-1,0故最小值为：-1.故选：B.【变式1-1】2.（2022秋•上城区校级期中）函数f(x)=1-x2【答案】-【分析】令x=cosα(0≤α≤π【详解】令x=cos则y=f(x)=1-它表示半圆x2+y2=1(y≥0)由图象得当AB与半圆相切时，函数y=sin此时OB=1,OA=2,∠OAB=30°，kAB即y=f(x)=1-x2故答案为：-3【变式1-1】3.（2020•泰州一模）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则ba-2c的取值范围为【答案】-【详解】由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为.题型2类比两点间距离形如(x-a)2+(y-b)【例题2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设a>0，b∈R，已知函数fx=xexA．e26 B．e25【答案】B【分析】设函数fx的零点为t，可得t-3a+b+tet=0，由此可得点a,b【详解】函数fx=xe则1≤t≤3，且tet+a所以点a,b在直线t-3x+y+t又a2+b故a2所以a2设gt则g'故g'设ht则h'因为1≤t≤3，所以h'所以函数ht=t所以当1≤t≤3时，ht故当1≤t≤3时，g't>0，函数g所以gt所以当-2a+b+e=0，a=-2b时，a2所以当a=2e5,b=-e故选：B.【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知实数a,b满足(a+2)2+(b-3)2=2【答案】8【分析】求出圆心C-2,3到曲线y=lnx【详解】因为实数a,b满足(a+2)2+(b-3)2=2，故P而C-2,3，设g则gx表示C到曲线y=又g'因为hx=x2+2x+故当x∈0,1时，hx<0即g'x<0；当故gx在0,1上为减函数，在1,+∞为增函数，故gx的最小值为故C-2,3到曲线y=lnx而圆C的半径为2，故圆C上的点到曲线y=lnx上的点的距离最小值为故(x-a)2+(故答案为：8.

【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义.【变式2-1】2.（2022秋·河南南阳·高三统考期中）不等式ea-b2+a-b-12≥m【答案】[-1,2]【分析】设P(a,ea),Q(b+1,b)，则可得PQ2≥m2-m，而P,Q分别在曲线f(x)=ex和直线【详解】由题意设P(a,ea),Q(b+1,b)，则PQ因为P,Q分别在曲线f(x)=ex和直线所以将直线y=x-1平移恰好与曲线f(x)=ex相切时，切点到直线y=x-1的距离最小，此时设切线为y=x+m，切点为(x0,y0所以ex0=1，得x所以PQ的最小值为点(0,1)到直线y=x-1的距离d，d=-1-1即PQ的最小值为2，所以2≥m2-m，即m所以实数m的取值范围是[-1,2]，故答案为：[-1,2]【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为P(a,ea),Q(b+1,b)，PQ2≥【变式2-1】3.（2021•南京一模）若实数x、y满足x-4y=2x-y，则x【答案】{0}∪[4,20]【详解】令y=a,x-y=b且题设等式化为a2于是，a、b满足方程如图，在aOb平面内，点a,b的轨迹是以D1,2为圆心、5为半径的圆在a、b≥0的部分，即点O故a2从而，x=a【变式2-1】4.记Z=(x-y)2+(2x+y2【答案】16【分析】根据题意，可知Z=(x-y)2+(2x+y2)2表示点A(x,2x)，B(y,-y2)两点之间距离的平方，得出点A的轨迹方程是y=2x，点B的轨迹方程是y=-x2，设平行于y=-【详解】解：Z=(x-y)2+(2点A的轨迹方程是y=2x，点B的轨迹方程是设平行于y=-x2且与y=2联立y=2xy=-由Δ=-2b2所以与y=2x相切的直线方程为y=-x∴A(x,2x)即为两平行直线y=-x2与y=-x∴Z的最小值是45故答案为：165【变式2-1】5.（2020·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知y=f(x)是定义在R上的增函数，且y=f(x)的图像关于点(6,0)对称．若实数x,y满足不等式f(x2-6x)+f(【答案】[16,36]【分析】根据函数y=f(x)的图像关于点(6,0)对称，得到f(x+6)=-f(6-x)，从而将f(x2-6x)+f(y2-8y+36)≤0转化为f(x【详解】因为函数y=f(x)的图像关于点(6,0)对称，所以f(x+6)=-f(6-x).因为f(x所以f(x-f(y所以f(x又因为函数y=f(x)是定义在R上的增函数，所以x2整理得：(x-3)2因为x2+y2表示以(3,4)为圆心，所以(x(x所以x2+y故答案为：[16,36]【点睛】本题主要考查函数的对称性和单调性，同时考查了圆的性质，利用x2+题型3类比点到直线距离由两点间距离公式，可以考虑转化成点到直线的距离公式。【例题3】（2021秋•西湖区校级期末）函数y=cosα+2A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】分析可知函数y=cosα+2sinαt-2t-2cosα【详解】解：函数y=的几何意义为点0,0到直线t-2由直线t-2即为tx+由x+cosα+2则直线恒过定点P-由题意可得原点到定点P的距离即为所求最大值，可得OP=故选：B.【变式3-1】1.（2022•新疆模拟）若x12-lnxA．12 B．22 C．2【答案】D【分析】问题转化为曲线y=x2-lnx上的点P到x-y-2=0的距离平方的最小值，需满足函数fx=【详解】解：由已知可得y1=x则x1-x22设fx=x2-lnxf1曲线y=x2-lnx则所求距离的最小值为点P1,1到直线x-y-2=0的距离的平方，即2故选：D.【变式3-1】2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）设点P在曲线y=12e(x-1)上，点Q在曲线A．1-ln2C．1+ln2【答案】B【分析】根据互为反函数的对称性，把所求的点点距离转化为点线距离，构造函数求最小值即可.【详解】令t=x-1，则y=12et，y=ln所以y=12e(x-1)与y=ln(2x-2)的图象可以看成是由所以PQ的最小值即为曲线y=12e曲线y=12et上的点M设f(t)=12e由f'(t)=12et所以f(t)=12et-t(t>0)所以当t=ln2时，函数f由图象关于y=x对称得：PQ的最小值为2d故选：B【变式3-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c，d满足|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0，则A．22 B．8 C．4【答案】B【分析】利用绝对值的性质及两点间的距离公式，结合导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】由|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0得，ln(a-1)-b=0，c-d+2=0，即b=(a-c)2+(b-d)2的几何意义为曲线b=ln(a-1)上的点不妨设曲线y=ln(x-1)，直线y=x+2，设与直线y=x+2平行且与曲线y=ln显然直线y=x+2与直线y=x+m的距离的平方即为所求，由y=ln(x-1)，得y'=1则1x0-1∴直线y=x+2与直线y=x+m的距离为|2+2|2∴(a-c)故选：B.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将问题转化为求曲线b=ln(a-1)上的点(a,b)到直线d=c+2上的点(c,d)连线的距离的平方，进而再转化为求曲线y=ln【变式3-1】4.（2021春•北海期末）实数a,b,c,d满足ea+1b=c-2dA．2 B．22 C．4 D．【答案】D【分析】由题知b=ea＋1,d=c-2,进而将问题转化为曲线y=ex+1上一点(a,b)与直线y=x-2上一点(c,d)【详解】由ea+1b=故(a-c)2+(b-d)2几何意义为曲线y=ex+1上一点对于函数y=ex＋1，令所以函数y=ex+1在(-1,1)处的切线方程为x-y＋2=0，切线方程与直线y=x-2平行，则函数y=ex+1在(-1,1)处的切线方程与直线y=x-2之间的距离故选:D【变式3-1】5.（2021•山东模拟）若x，y∈R，x>0，求x-y2+4A．5 B．55 C．165【答案】C【分析】根据x-y2【详解】问题可以转化为：Ax,4lnx-xBy,2y+1是函数y=2x+1上的点，AB当与直线y=2x+1平行且与fx的图象相切时，切点到直线y=2x+1的距离为ABf'又f1=-1，所以M1,-1到直线y=2x+1ABmin=4故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解x-y2题型4类比直线与曲线的位置关系利用转化与化归思想，可以将方程解的问题，转化成直线与曲线的位置关系问题，应用数形结合思想，进行求解．【例题4】（2021秋•运城期中）直线y=kx-1与曲线y=-1-(x-2)2有两个不同的公共点，则k【答案】k∈(0【详解】作直线y=kx-1与曲线y=-1-(x-2)2，直线m的斜率k=0+1结合图象可以知道,k的取值范围是(0 , 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【变式4-1】1.若关于x的方程x+b=3-4x-x2有解，则实数b【答案】3⩽b⩽5+2【分析】将方程变形，可得4x-x2=-x+3-b，等价于y=4x-x2与【详解】解：关于x的方程x+b=3-4x-x2等价于y=4x-x2与y=-x+3-b∵y=4x-x2等价于y其图象为(2,0作图可得当平行直线y=-x+3-b介于两直线之间时满足题意，易得直线m的截距为0，设直线n的截距为t，由直线与圆相切可得直线x+y-t=0到点(2,0可得|2-t|2=2，解得t=2+22∴0⩽b-3⩽2+22，解得3⩽b⩽5+2故答案为：3⩽b⩽5+22【变式4-1】2.（2022秋•吉州区校级期中）若方程1-x2x+a-1=0仅有一解，则实数【答案】-1<a≤1【详解】试题分析：1-x2x+a-1=0即1-x2=x+a，所以，方程1-考点：本题主要考查方程解的概念，直线与圆的位置关系．点评：典型题，利用转化与化归思想，将方程解的问题，转化成直线与圆的位置关系问题，应用数形结合思想，使问题得解．难度不大，贵在转化．题型5类比和差距离问题双根号问题，可以通过配方，转化成距离之和问题。【例题5】（2021•安徽开学）求函数y=x2-8x+17【答案】5【分析】将函数式表示为点点距的形式，可转化为求距离之和的最小值，从而求出答案.【详解】解：函数y=x2-8x+17+x2+4=(x-4)P为AB与x轴的交点时，函数取最小值|AB|=(4-0)故答案为：5题型6绝对值中的距离问题【例题6】（2021•杭州模拟）已知函数f(x)=|x2+ax+b|在区间[0，4]上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为，当M取到最小值时，【答案】2-2【解析】f(x)=x2-4x-[-(a+4)x-b]，则M即为函数g(x)=x2-4x与函数h(x)=-(a+4)x-b【详解】解：f(x)=x上述函数可理解为当横坐标相同时，函数g(x)=x2-4x，x∈[0，4]与函数h(x)=-(a+4)x-b，x∈[0，则M即为函数g(x)=x2-4x与函数由图象可知，当函数h(x)的图象刚好为y=-2时，M取得最小值为2，此时-(a+4)=0，且-b=-2，即a=-4，b=2，故a+b=-2.故答案为：2，-2.【点睛】本题考查绝对值函数中的最值问题，考查“平口单峰”函数的构造，考查数形结合思想，属于中档题.题型7两曲线间点的距离【例题7】（2023·全国·高三专题练习）若x、a、b为任意实数，若(a+1)2+(b-2)A．22 B．9 C．9-42【答案】C【分析】由题可知，问题可转化为圆(x+1)2+(y-2)2=1上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的最小值，即求函数y＝lnx上动点到圆心(-1,2)距离的最小值，数形结合可知当y＝lnx在(m,【详解】由(a+1)2+(b-2)2=1(x-a)2+(lnx-b)即表示圆(x+1)2+(y-2)设(m,lnm)为y＝lnx上一点，且在(m,lnm)处的y＝lnx的切线与(m,ln即有lnm+由f(m)=lnm+m2+m在m>0圆心与切点的距离为d=(1+1)由此可得(x-a)2+(故选：C．

【变式7-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知实数a,b,c,d满足a=eb-1，c=lnA．12 B．1 C．2【答案】D【分析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.【详解】∵a=e令b-1=x1,d-1=其几何意义为点Ax1,e设fx=ex,g显然fx和g则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，不妨设Bx,lnxAB2=2x-ln当x>1,h'x>0，即hx≥1>0，∴当hxAB2的最小值为故选：D.【变式7-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=e2x+1的图象与函数y=lnx+1+1A．2ln22 B．2ln【答案】A【分析】由于Pa,b为函数y=e2x+1图象上任意一点，关于直线y=x+1的对称点为Qb-1,a+1在y=lnx+1+12的图象上，所以函数y=e2x+1的图象与y=ln【详解】设Pa,b为函数y=e2x+1图象上任意一点，则b=e2a+1，P设u=b-1，v=a+1，则a=v-1，b=u+1，所以u+1=e所以v=lnu+1+12，即函数y=e2x+1的图象与所以这两点之间距离的最小值等于P到直线y=x+1距离最小值的2倍.函数y=e2x+1在点P(x0,y0)处的切线斜率为所以点P到直线y=x+1距离的最小值为d=-所以这两点之间距离的最小值为2d=2故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，解题的关键是得到函数y=e2x+1的图象与y=lnx+1+12的1.（2022•浙江模拟）已知x∈[-3，3]，y∈R+，则【答案】21-66##【分析】分别作y=3-x2，y=9x的图象，取点(x,3-x【详解】解：分别作y=3-x2，y=分别取点(x,3-x2)，设P为y=x与y=9∴PO2=当且仅当x=3时，取等号.故得的最小值为(OP-3故答案为：21-66

2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知两曲线y=ex与A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标x∈B．若a=3，则两曲线只有一条公切线C．若a=2，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为eD．若a=1,P,Q分别是两曲线上的点，则P,Q两点距离的最小值为1【答案】C【分析】对于选项A，由公切线斜率相等，可得关系x0ex对于选项B，由h(x)=e对于选项C，由导数的几何意义，表示出切线方程，解方程组可判断；对于选项D，由图象，或找到两曲线斜率相等的切线，求出切线间的距离，可判断.【详解】若两曲线只有一个交点，记交点为Ax0,且在此处的切线为公切线，所以ex0=1x设fx=xex，则x∈-1,+

如上图，a=3时，设h(x)=e则h'(x)=ex-所以存在x0∈(1那么当x∈(0,x0)时，h当x∈(x0,+∞)且h(12)=则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以B错误.a=2时，设t,et是曲线y=e所以在点t,et处的曲线y=ex切线方程为y-设s,lns+2是曲线y=ln所以在点s,lns+2处的切线方程为y-所以et=1s所以所以两斜率分别是1和e，所以C正确.

a=1时，曲线y=ex的一条切线为y=x+1，y=ln两切线间的距离为最小值22，所以D故选：C3.（2022•成都模拟）已知lnx1-x1-yA．105 B．255 C．【答案】B【分析】(x1-x2)2+(【详解】设Ax1,点Ax1,y1在函数y=∴(x1-x2)2+由y=lnx-x+2，可得y'=1令1x-1=-12，得切点到直线x+2y-4-2ln2=0的距离∴(x1故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为函数f(x)=lnx+e(x>2)图像上任意一点，点Q为圆A．1+e2C