第十五章电路方程的矩阵形式

1.割集的概念3.矩阵形式的KCL、KVL方程

重点：第十五章电路方程的矩阵形式2.关联矩阵A，回路矩阵B，割集矩阵Q4.结点电压方程的矩阵形式15-1割集15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15-3矩阵A、Bf、Qf之间的关系

15-4回路电流方程的矩阵形式15-5结点电压方程的矩阵形式15-7列表法目录15-6割集电压方程的矩阵形式15-1割集1、原分析方法回顾难处理大规模电路。手工；2、引入新的分析方法系统化；规范化；机辅分析。

网络图论是图论在电路理论中的应用。主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。一、回顾：图的基本概念(1)支路:每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。(2)结点：每两个二端电路元件的联接点，称为结点。在电路理论中，通常结点是指两条以上支路的汇集点。有向图是指各个支路规定了参考方向的图，反之，称为无向图。结点和支路的集合，称为图。在图上，每一条支路的两端都连接到相应的结点上。(3)电路的图(4)有向图当图G中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。(5)连通图一般是指内网孔。平面图中自然的“孔”，它所限定的区域不再有支路。如果一条路径的起点和终点重合所形成的闭合路径，称为回路。(6)回路(7)网孔(8)树:一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。树支数连支数树中的支路称为“树支”；不属于T的其他支路称为“连支”。(9)基本回路只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。基本回路数(组)二、割集与单树支割集

(2)只要少移去一条支路（即保留该支路集合中的任意一条支路）时，图仍然连通。1、割集:连通图G的割集是指其一个支路集合：满足两个条件(1)将该支路集合中的全部支路移去（保留结点），G将分离成两部分；①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q4:{1,5,2}Q3:{1,5,4}Q2:{2,3,6}例:1234{1，2，3，4}割集三个分离部分1234{1，2，3，4}割集4保留4支路，图不连通由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说，组成割集的所有支路的电流应满足KCL。对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。2、单树支割集(基本割集)只含一条树支的割集称为单树支割集，它们的总和称为“基本割集”。树一经选定，基本割集唯一地确定下来。连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个结点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可以构成（n-1）单树支割集。称之为基本（独立）割集组。树不同，独立割集组不同，但单树支割集数都有(n-1)个。可以借助于“树”来确定独立割集。①4321②④③56Q3:{1,5,3,6}①4321②④③56Q2:{3,5,4}①4321②④③56Q1:{2,3,6}单树支割集独立割集单树支割集独立割集例:①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}基本回路和基本割集关系对同一个树1.由某个树支bt确定的基本割集应包含哪连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt。选{1，2，4}为一个树2.由某个连支bl确定的单连支回路应包含哪些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl。①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}电路的图是电路拓扑结构的抽象描述，图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一.关联矩阵A用关联矩阵形式描述结点和支路的关联性质ajkajk=+1表示支路k与结点j关联且它的方向背离结点（流出）ajk=-1表示支路k与结点j关联且它的方向指向结点（流入）ajk=0表示支路k与结点j无关联关联矩阵Aa={ajk}n

b结点数支路数一条支路联接于某两个结点，称该支路与这两个结点关联，支路与结点的关联性质可用关联矩阵描述。设有向图的结点数为n，支路数为b，则其关联矩阵Aa为一阶矩阵，用Aa表示。Aa=[ajk]中的行对应图的结点，列对应图的各个支路：645321①②④③Aa=1234

123456

100-101-1-10010

01100-1

00-11-10Aa=1234

123456

1-100

0-110

001-1-1001

010-1

10-10设④为参考结点-1-10010A=123

123456

100-101

01100-1支路结点Σ0每一支路，连接在两个结点上，必然要背离一个结点，指向另一结点。称A为降阶关联矩阵(n-1)

b

，表征独立结点与支路的关联性质，简称关联矩阵。设:支路电流的参考方向为支路方向，支路电压与电流方向关联，则6条支路电流电压可以用一个6阶列向量表示645321①②④③-1-10010A=123

123456

100-101

01100-1支路电压支路电流结点电压Ai=-1-10010

100-101

01100-1654321iiiiii②645321①④③Ai=0若支路电流的参考方向为支路方向，则b条支路电流可以用一个b阶列向量表示，由此可得到：用矩阵A表示的KCL的矩阵形式由此得到矩阵形式的KVL645321①②④③若支路电流的参考方向为支路方向，支路电压与电流方向关联，则b条支路电压也可以用一个b阶列向量表示-1-10010A=123

123456

100-101

01100-1结论：电路中的支路电压可以用与该支路关联两个结点电压表示，这正是结点电压法的基本思想。二.回路矩阵B与基本回路矩阵Bf

+1支路k与回路j关联，且方向一致–1支路k

与回路j关联，且方向相反0支路k与回路j无关联，即支路k不在回路j中bjk=1２３６５４约定：回路电流的参考方向取连支电流方向。用回路矩阵形式描述独立回路和支路的关联性质B={bjk}l

b基本回路数支路数一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路关联，支路与回路的关联性质可用回路矩阵描述。设有向图的独立回路数为l

、支路数为b,则其回路矩阵B是一个矩阵

B中的行对应l个独立回路，列对应b条支路。举例说明1２３６５４选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123Bf

=123456支回1001-100101-11=[Bl:Bt]00101-1BtBl123如果所选回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵称基本回路矩阵，即用基本回路矩阵形式描述基本（单连支）回路和支路的关联性质。2.支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。约定：1.回路电流的参考方向取连支电流方向。基本回路矩阵Bf例选2、5、6为树，连支顺序为1、3、4。1２３６５４①②④③231123[Bf]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1

Bt

]确定基本回路矩阵需要先选择一棵树由于基本回路为单连支回路，所以其参考方向取为连支参考方向列写时，将矩阵的列按连支与树支分开排列的方式用矩阵B表示的KVL的矩阵形式Bu=1２３６５４123选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123Bf

=123456支回1001-100101-11=[Bl:Bt]00101-1BtBl若支路电流的参考方向为支路方向，支路电压与电流方向关联，则b条支路电压(电流）可以用一个b阶列向量表示。Bu=0

可写成

ul+Btut=0ul=-Btut用树支电压表示连支电压连支电压树支电压矩阵形式的KVL的另一种形式由于矩阵B的每一列，也就是矩阵BT的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况，所以按矩阵的乘法规则可知i=BTil1２３６５４123选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。用矩阵B表示的KCL的矩阵形式，这正是回路电流法的基本思想。1２３６５４①②④③231Bu=100-1-100101010010-11ulut设例：BTil=三.割集矩阵Q和基本割集矩阵Qfqjk=+1表示支路k与割集j

关联且方向一致-1表示支路k与割集j

关联且方向相反0表示支路k与割集j无关联即支路不在割集j中用割集矩阵形式描述独立割集和支路的关联性质Q

={qjk}(n-1)

b基本割集数支路数1２３６５４一个割集由某些支路组成，称这些支路与该割集关联，支路与割集的关联性质可用割集矩阵描述。设有向图的结点数为n、支路数为b,则其独立割集数为n-1。割集矩阵Q是一个矩阵

Q中的行对应(n-1)个独立割集，列对应b条支路。指定一个割集方向:割集方向与树支方向相同Q=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-1例1２３６５４①②④③选1、2、3支路为树Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}选3、5、6为“树”基本割集矩阵Qf

如果所选回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵称基本回路矩阵，即用基本回路矩阵形式描述基本（单连支）回路和支路的关联性质。割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵[Qf]规定1２３６５４①②④③QlQt[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-1选1、2、3支路为树Q=45612