2020-2021学年北京房山区初三第一学期数学期中试卷及答案

2020-2021学年北京房山区初三第一学期数学期中试卷及答案一、选择题1.二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A.1，4，3 B.0，4，3 C.1，-4，3 D.0，-4，3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．2.如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据比例的性质，可得答案．【详解】解：A．由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故A符合题意；B．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；C．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；D．由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解答本题的关键．3.如图，在中，，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，可得：，得到，然后根据，，求出值即可．【详解】解：∵，，，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质的应用，平行线的性质．解题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4.将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知函数图象平移变换的法则是解答此题的关键．5.已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（）A. B. C. D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴为直线，开口向上，根据与坐标轴的距离的远近即可判断与的大小关系【详解】解：∵二次函数，开口向上，对称轴为直线又点和在此函数图象上，，∴．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．6.如图，A是反比例函数图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积为2，则k的值为（）A.4 B.﹣2 C.2 D.-4【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数k的实际意义可得，，求出k值，再根据反比例函数所经过的象限，可确定k值即可得出答案．【详解】由题可知：，，图像过第二象限，，，故选：D．【点睛】本题考查反比例函数k的实际意义，掌握反比例函数k的实际意义是得出正确答案的前提，理解反比例函数的性质是解题的关键．7.《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别位于，的中点，，，里，经过点，则的长为（）A.0.95里 B.1.05里 C.2.05里 D.2.15里【答案】B【解析】【分析】先根据题意得到，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8.已知关于的函数的图象如图所示．根据探究函数图象的经验，可以推断常数，的值满足（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知，当x>0时，y<0，可知a<0；当x=-b时，函数值不存在，则b>0．【详解】解：由图象可知，当x>0时，y<0，∴a<0；当x=-b时，函数值不存在，∴-b<0，∴b>0，故选：D．【点睛】此题考查了函数的图象，能够通过已学的反比例函数图象确定b的值是解题的关键．二、填空题9.若，则______．【答案】##0.6【解析】【分析】根据可得：，代入运算求解即可．【详解】∵，∴，∴把代入得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质，正确计算是解题的关键．10.写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．【答案】，答案不唯一．【解析】【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．【详解】解：抛物线的解析式为：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．．11.两个相似三角形的对应边的比为，则这两个相似三角形周长的比为__，面积的比为__．【答案】①.②.【解析】【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比为，它们对应周长的比为；对应面积的比是．故答案为：；．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．12.已知，是边上的一点，连接．请你添加一个条件，使，这个条件可以是_______．（写出一个即可）【答案】或或【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．【详解】解：∵，∴当或或时，．故答案为：或或．【点睛】本题考查相似三角形的判定．解题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．13.在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是_____．【答案】四边形【解析】【分析】以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则，，，，，，，，，，由，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．【详解】∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则，，OD=，，，，OQ=，，，，∵，则点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形，故答案为：四边形．【点睛】本题考查了位似变换、勾股定理，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，找出点C对应点M．14.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则关于的方程的解为_______．【答案】，【解析】【分析】观察函数图像可直接写出方程的一个解，二次函数对称轴为直线，根据函数图像与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，得出方程另一个解的值．【详解】解：由二次函数图像可得，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴是直线，则抛物线与x轴的另一个交点为，当时，关于x的方程的两个解为：，．故答案为：，．【点睛】本题考查根据二次函数图像确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．15.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______．【答案】且##k≠0且k≥【解析】【分析】根据二次函数的定义可知，由题意令，得出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，令，则，∴且，解得且．故答案为：且．【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴交点问题，转为一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意不要漏掉．16.如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）函数的图象为曲线．（1）若过点，则__；（2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有__个．【答案】①.-16②.7【解析】【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；（2）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是1和2，，，，，，，，，过点，，故答案为：；（2）若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，，整数，，，，，，共7个，故答案为：7；【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键．三、解答题17.若，求的值．【答案】【解析】【分析】直接利用比例的性质将已知条件变形，再解一元二次方程得出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，检验：将，代入得：，，∴，是原方程的解．【点睛】本题主要考查了比例的性质，一元二次方程的解法，正确解方程是解本题的关键．18.已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为．（2）在坐标系中画出此抛物线．【答案】（1）（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可以求得它与x轴交点的坐标、与y轴交点的坐标以及顶点坐标；（2）根据（1）中的结果，可以画出相应的抛物线．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1），∴该抛物的顶点坐标为（2，﹣1），当y＝0时，x1＝3，x2＝1，当x＝0时，y＝3，∴它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；（2）由（1）知，它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），且过点（4，3），抛物线如下图所示：【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.．19.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．（1）则_____°，______；（2）判断与是否相似．若相似，请说明理由．【答案】（1），（2）∽，证明见解析【解析】【分析】（1）利用图形以及勾股定理解决问题即可．（2）结论：△ABC∽△DFE．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【小问1详解】解：观察图形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC．故答案为：，【小问2详解】结论：△ABC∽△DFE．理由：∵AB＝2，BC＝2，DF，EF＝2，∠DFE＝90°＋45°＝135°，∴，∵∠ABC＝∠DFE，∴△ABC∽△DFE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x……y……求这个二次函数的表达式．【答案】．【解析】【分析】根据表格数据，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），结合点（﹣1，2）利用题意，设二次函数的表达式为，然后代入求解即可．详解】∵二次函数经过（-3,0），（1,0），则可设其表达式为y＝a（x+3）（x﹣1）∵二次函数经过点，∴，∴，∴二次函数的表达式为，即．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据选取的点设合适的二次函数解析式的形式．21.已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且．（1）求证：∽；（2）若，，求的度数．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论；（2）由相似三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求得∠B即可．【小问1详解】∵，，∴∽．【小问2详解】解：∵∽，∴．在中，，∵．∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）请直接写出当时，反比例函数的函数值的取值范围是_______．【答案】（1）（2）当时，或【解析】【分析】（1）把点代入一次函数求得m的值，再把点A的坐标代入得到k的值，即可求得反比例函数的表达式；（2）由图象即可得到函数值的取值范围．【小问1详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．∴．∴点A的坐标是（1，3），把点（1，3）代入得到，∴．∴反比例函数的表达式为．【小问2详解】由图象可知，当时，或．故答案为：或【点睛】此题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、根据图形求函数值的取值范围，熟练掌握函数的性质是解题的关键．23.如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．若，，求的长．【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质，证明，，可得∽，根据相似三角形的性质得出比例式，分别求得，代入比例式即可求解．【详解】解∶∵四边形是矩形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴∽．∴．∵，是的中点，∴．∴在中，．又∵．∴．∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24.数学学习小组根据函数学习的经验，对一个新函数的图象和性质进行了如下探究：（1）列表，下表是函数y与自变量x的几组对应值：x…﹣3﹣2﹣11234…y…﹣4﹣6﹣10620m…请直接写出自变量x的取值范围，a＝，m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出函数的图象；（3）观察所画出的函数图象，写出该函数的性质．（写出一条性质即可）【答案】（1）x≠0，2，1；（2）见解析；（3）当0＜x＜2时，y随x的增大而减小【解析】【分析】（1）利用函数解析式结合表格利用待定系数法进行计算即可；（2）根据表格中所给数据描点画图即可；（3）利用图象可得答案．【详解】解：（1）自变量x的取值范围x≠0，把x＝1，y＝2代入函数得：2＝|1﹣2|，解得：a＝2，当x＝4时，y＝|4﹣2|＝×2＝1，故答案为：x≠0，2，1；（2）如图所示；（3）当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握描点法画图像的步骤．25.某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米．（1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；（2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）；（2）当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米【解析】【分析】(1)由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围；(2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可.【详解】解：（1）四边形是矩形，米，米，墙长为22米，，，，即；（2）设矩形的面积为，由（1）知，，当时，有最大值200，即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．【点睛】此题考查了二次函数实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解.26.在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点．（1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______；（2）若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据关系式可求出抛物线与轴的交点坐标，即点的坐标，再根据平移可得点坐标；（2）由于抛物线的图像恒过点，因此分两种情况：①对称轴是轴或在轴左侧时，②对称轴在轴右侧时，进行解答即可．【小问1详解】解：当时，，∴点的坐标为，∵将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，∴点坐标为．故答案为：；．【小问2详解】抛物线的对称轴为直线，抛物线恒过点，设直线的解析式为，∵，，∴，∴直线的解析式为，①当对称轴是轴或在轴左侧时，即时，∴抛物线与直线的交点的横坐标是方程的解，即的两个根，解得：，，当抛物线与线段有一个公共点时，有：，即：，解得：；②当对称轴在轴右侧时，即时，∴抛物线与直线的交点的横坐标是方程的解，即的两个根，解得：，，当抛物线与线段有一个公共点时，有：，∴，即：，解得：．综上所述，当或时，函数的图像与线段恰有一个公共点．【点睛】本题考查坐标与图形的变化—平移，二次函数与一次函数的交点情况，掌握点平移的坐标规律和二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，解一元二次方程等知识．解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出点的坐标；（2）分两种情况：对称轴是轴或在轴左侧时；对称轴在轴右侧时，找出关于的一元一次不等式．27.如图，在中，，，点是内一动点（不包括的边界），连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接，．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：；（3）延长交于，交于．连接，．当为等腰直角三角形时，请你直接写出_______．【答案】（1）图见解析（2）证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）利用即可证明，即可得到结论；（3）①根据两角相等的两个三角形相似即可判断；②分两种情形分别求解即可．【小问1详解】解：图形如图所示：【小问2详解】证明：∵线段绕点顺时针旋转，得到线段，∴，，∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．【小问3详解】解：或．①当时，如图，设，∵，，∴，∴，∵为等腰直角三角形