2016年浙江省杭州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

./省市2016年高考数学二模试卷〔文科〔解析版一、选择题〔共8小题,每小题5分,满分40分1．设集合A={x|x2﹣2x≤0},B={y|y=x2﹣2x},则A∩B=〔A．[﹣1,2] B．[0,2] C．[﹣1,+∞ D．[0,+∞2．若某几何体的三视图〔单位：cm如图所示,且俯视图为正三角形,则该几何体的体积等于〔A．3cm3 B．6cm3 C．cm3 D．9cm33．设等差数列{an}的前n项和为Sn,则"a2＞0且a1＞0"是"数列{Sn}单调递增"的〔A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若直线x=m〔m＞1与函数f〔x=logax,g〔x=logbx的图象及x轴分别交于A,B,C三点,若=2,则〔A．b=a2 B．a=b2 C．b=a3 D．a=b35．函数f〔x=3sin〔x∈R的最大值等于〔A．5 B． C． D．26．△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC、AC上的动点,且EF=1,则的最小值等于〔A． B． C． D．7．设双曲线C：﹣=1〔a＞0,b＞0的顶点为A1,A2,P为双曲线上一点,直线PA1交双曲线C的一条渐近线于M点,直线A2M和A2P的斜率分别为k1,k2,若A2M⊥PA1且k1+4k2=0,则双曲线C离心率为〔A．2 B． C． D．48．设函数f〔x与g〔x的定义域为R,且f〔x单调递增,F〔x=f〔x+g〔x,G〔x=f〔x﹣g〔x．若对任意x1,x2∈R〔x1≠x2,不等式[f〔x1﹣f〔x2]2＞[g〔x1﹣g〔x2]2恒成立．则〔A．F〔x,G〔x都是增函数 B．F〔x,G〔x都是减函数C．F〔x是增函数,G〔x是减函数 D．F〔x是减函数,G〔x是增函数二、填空题〔共7小题,每小题6分,满分42分9．计算：2log510+log5=,2=．10．设函数f〔x=2sin〔2x+〔x∈R,则最小正周期T=；单调递增区间是．11．在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中,E是AA1的中点,则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于,若正方体边长为1,则四面体B﹣EB1D1的体积为．12．若实数x,y满足,则x的取值围是,|x|+|y|的取值围是．13．抛物线y2=2px〔p＞0的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则的最大值为．14．设实数a,b满足0≤a,b≤8,且b2=16+a2,则b﹣a的最大值为．15．定义min{a,b}=,则不等式min{x+,4}≥8min{x,}的解集是．三、解答题〔共5小题,满分68分16．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若msinA=sinB+sinC〔m∈R．〔I当m=3时,求cosA的最小值；〔Ⅱ当A=时,求m的取值围．17．在底面是正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=2,AA1⊥平面ABC,E,F分别为BB1,AC的中点．〔1求证：BF∥平面A1EC；〔2若AA1=2,求二面角C﹣EA1﹣A的大小．18．设公差不为0的等差数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且,,成等比数列．〔1求数列{an}的通项公式及Sn；〔2设bn=,tn=,且Bn,Tn分别为数列{bn},{tn}的前n项和,比较Bn与Tn+的大小．19．设函数f〔x=|x2﹣a|﹣ax﹣1〔a∈R．〔I若函数y=f〔x在R上恰有四个不同的零点,求a的取值围；〔Ⅱ若函数y=f〔x在[1,2]上的最小值为g〔a,求g〔a的表达式．20．设抛物线Γ：y2=2px〔p＞0上的点M〔x0,4到焦点F的距离|MF|=．〔1求抛物线Γ的方程；〔2过点F的直线l与抛物线T相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线l′与抛物线Γ相交于C,D两点,若=0,求直线l的方程．2016年省市高考数学二模试卷〔文科参考答案与试题解析一、选择题〔共8小题,每小题5分,满分40分1．设集合A={x|x2﹣2x≤0},B={y|y=x2﹣2x},则A∩B=〔A．[﹣1,2] B．[0,2] C．[﹣1,+∞ D．[0,+∞[分析]分别求出集合A、B的围,取交集即可．[解答]解：∵集合A={x|x2﹣2x≤0}=[0,2],B={y|y=x2﹣2x}={y|y≥﹣1},则A∩B=[0,2]．[点评]本题考查了解不等式问题,考查集合的运算,是一道基础题．2．若某几何体的三视图〔单位：cm如图所示,且俯视图为正三角形,则该几何体的体积等于〔A．3cm3 B．6cm3 C．cm3 D．9cm3[分析]由三视图可知：该几何体是由有关三棱柱截去一个三棱锥剩下的几何体．[解答]解：由三视图可知：该几何体是由有关三棱柱截去一个三棱锥剩下的几何体．∴该几何体的体积V=×4﹣=cm3．故选：C．[点评]本题考查了三视图的有关知识、三棱柱与三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．3．设等差数列{an}的前n项和为Sn,则"a2＞0且a1＞0"是"数列{Sn}单调递增"的〔A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[分析]设等差数列{an}的公差为d,d≠0．可得：Sn=na1+d=﹣,数列{Sn}单调递增,可得d＞0,≤1,因此d+2a1≥0．由a2＞0且a1＞0,可得a2=a1+d＞0．即可判断出结论．[解答]解：设等差数列{an}的公差为d,d≠0．Sn=na1+d=n2+=﹣,∵数列{Sn}单调递增,∴d＞0,≤1,可得d+2a1≥0．由a2＞0且a1＞0,可得a2=a1+d＞0．∴"a2＞0且a1＞0"是"数列{Sn}单调递增"的既不充分又不必要条件．故选：D．[点评]本题考查了函数的性质、不等式的性质、等差数列的通项公式及其前n项和公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．4．若直线x=m〔m＞1与函数f〔x=logax,g〔x=logbx的图象及x轴分别交于A,B,C三点,若=2,则〔A．b=a2 B．a=b2 C．b=a3 D．a=b3[分析]根据函数图象,由=2,可知,,则,则x=m时,f〔m=3g〔m,代入函数求值,求得a、b的关系．[解答]解：由函数图象可知由=2,则,则A的坐标为〔m,3g〔m,将A点坐标代入得：logam=3logbm,即,由函数的性质可知b=a3,故答案选：C．[点评]本题考查对数函数的性质及其应用,对函数图象的理解,属于基础题．5．函数f〔x=3sin〔x∈R的最大值等于〔A．5 B． C． D．2[分析]借助二倍角公式和辅助角公式,化简f〔x为一个三角函数式,由此得到最大值．[解答]解：∵f〔x=3sin〔x∈R,=sinx+2cosx+2=〔sinx+cosx+2,=sin〔x+φ+2,其中sinφ=,cosφ=,∴函数f〔x的最大值为,故选：B[点评]本题考查函数式的化简,借助二倍角公式和辅助角公式．6．△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC、AC上的动点,且EF=1,则的最小值等于〔A． B． C． D．[分析]建立平面直角坐标系,设E〔x,0,求出的坐标,则可表示为x的函数,利用函数的性质得出最小值．[解答]解：以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系,如图：则A〔0,4,B〔3,0,C〔0,0,D〔,2．设E〔x,0,则F〔0,.0≤x≤1．∴=〔x﹣,﹣2,=〔﹣,．∴=﹣+4﹣2=﹣﹣2．令f〔x=﹣﹣2,则f′〔x=﹣+．令f′〔x=0得x=．当0≤x时,f′〔x＜0,当＜x＜1时,f′〔x＞0．∴当x=时,f〔x取得最小值f〔=．故选：B．[点评]本题考查了平面向量的数量积运算,建立坐标系是解题关键,属于中档题．7．设双曲线C：﹣=1〔a＞0,b＞0的顶点为A1,A2,P为双曲线上一点,直线PA1交双曲线C的一条渐近线于M点,直线A2M和A2P的斜率分别为k1,k2,若A2M⊥PA1且k1+4k2=0,则双曲线C离心率为〔A．2 B． C． D．4[分析]设P〔m,n,即有﹣=1,即为=,由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1,以及直线的斜率公式,化简整理,结合离心率公式计算即可得到所求值．[解答]解：设P〔m,n,即有﹣=1,即为=,由A1〔﹣a,0,A2〔a,0,A2M⊥PA1,可得PA1的斜率为=﹣,可得PA2的斜率为=k2=﹣k1,两式相乘可得,=,即有=,即为b=a,c==a,即有e==．故选：B．[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用点满足双曲线的方程,以及直线的斜率公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题．8．设函数f〔x与g〔x的定义域为R,且f〔x单调递增,F〔x=f〔x+g〔x,G〔x=f〔x﹣g〔x．若对任意x1,x2∈R〔x1≠x2,不等式[f〔x1﹣f〔x2]2＞[g〔x1﹣g〔x2]2恒成立．则〔A．F〔x,G〔x都是增函数 B．F〔x,G〔x都是减函数C．F〔x是增函数,G〔x是减函数 D．F〔x是减函数,G〔x是增函数[分析]根据题意,不妨设x1＞x2,f〔x单调递增,可得出f〔x1﹣f〔x2＞g〔x1﹣g〔x2,且f〔x1﹣f〔x2＞﹣g〔x1+g〔x2,根据单调性的定义证明即可．[解答]解：对任意x1,x2∈R〔x1≠x2,不等式[f〔x1﹣f〔x2]2＞[g〔x1﹣g〔x2]2恒成立,不妨设x1＞x2,f〔x单调递增,∴f〔x1﹣f〔x2＞g〔x1﹣g〔x2,且f〔x1﹣f〔x2＞﹣g〔x1+g〔x2,∴F〔x1=f〔x1+g〔x1,F〔x2=f〔x2+g〔x2,∴F〔x1﹣F〔x2=f〔x1+g〔x1﹣f〔x2﹣g〔x2=f〔x1﹣f〔x2﹣〔g〔x2﹣g〔x1＞0,∴F〔x为增函数；同理可证G〔x为增函数,故选A．[点评]考查了对绝对值不等式的理解和利用定义证明函数的单调性．二、填空题〔共7小题,每小题6分,满分42分9．计算：2log510+log5=2,2=．[分析]利用对数的运算性质、对数恒等式即可得出．[解答]解：2log510+log5===2,2==．故答案分别为：2；．[点评]本题考查了对数的运算性质、对数恒等式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．10．设函数f〔x=2sin〔2x+〔x∈R,则最小正周期T=π；单调递增区间是[kπ﹣,kπ+],k∈Z．[分析]由条件利用正弦函数的周期性和单调性,可得结论．[解答]解：∵函数f〔x=2sin〔2x+〔x∈R,则最小正周期T==π,令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,故函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z,故答案为：π；[kπ﹣,kπ+],k∈Z．[点评]本题主要考查正弦函数的周期性和单调性,属于基础题．11．在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中,E是AA1的中点,则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于,若正方体边长为1,则四面体B﹣EB1D1的体积为．[分析]取CC1中点F,连接D1F,B1F,则BE∥D1F,故∠B1D1F为异面直线BE与B1D1所成的角．在△B1D1F中求出三边长,利用余弦定理或等腰三角形知识求出cos∠B1D1F,四面体B﹣EB1D1的体积等于三棱锥D1﹣BB1E的体积．[解答]解：取CC1中点F,连接D1F,B1F,则BED1F,∴∠B1D1F为异面直线BE与B1D1所成的角．设正方体棱长为1,则B1D1=,B1F=D1F==．∴cos∠B1D1F==．V=V===．故答案为：,．[点评]本题考查了正方体的结构特征,空间角的计算,棱锥的体积计算,属于中档题．12．若实数x,y满足,则x的取值围是[0,1],|x|+|y|的取值围是[0,2]．[分析]由约束条件作出可行域,得到x的围,分类去绝对值得到z=|x|+|y|,求得不同情况下的最值,取并集得答案．[解答]解：由约束条件作出可行域如图,由图可知,0≤x≤1；当x≥0,y≥0时,z=|x|+|y|=x+y过〔1,时有最大值为,过O〔0,0时有最小值0；当x≥0,y≤0时,z=|x|+|y|=x﹣y过〔1,﹣1时有最大值为2,过O〔0,0时有最小值0．∴|x|+|y|的取值围是[0,2]．故答案为：[0,1],[0,2]．[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．13．抛物线y2=2px〔p＞0的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则的最大值为．[分析]设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF．由抛物线定义得2|MM1|=a+b,由余弦定理可得|AB|2=〔a+b2﹣ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值围,从而得到本题答案．[解答]解：设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|在梯形ABPQ中,2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得,|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得,|AB|2=〔a+b2﹣ab,又∵ab≤〔2,∴〔a+b2﹣ab≥〔a+b2﹣〔a+b2=〔a+b2得到|AB|≥〔a+b．所以≤=,即的最大值为．故答案为：．[点评]本题在抛物线中,利用定义和余弦定理求的最大值,着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识,属于中档题．14．设实数a,b满足0≤a,b≤8,且b2=16+a2,则b﹣a的最大值为4．[分析]由题意可知b2=16+a2,为焦点在y轴上的双曲线,设目标函数b﹣a=t,则当目标函数经过点A〔0,4,t的值最大,问题得以解决．[解答]解：b2=16+a2,即为﹣=1,∴顶点坐标为〔0,4,设目标函数b﹣a=t,则当目标函数经过点A〔0,4,t的值最大,即t=b﹣a=4,故b﹣a的最大值为4,故答案为：4．[点评]本题考查了双曲线的定义,以及目标函数的最值问题,属于基础题．15．定义min{a,b}=,则不等式min{x+,4}≥8min{x,}的解集是．[分析]由基本不等式可知,min{x+,4}=4,转化成求不等式的解集的问题．[解答]解：①当x＞0时,由基本不等式可知,min{x+,4}=4,则不等式转化成：min{x,}≤,即：或解得：或x≥2②当x＜0,min{x+,4}=x+=﹣[〔﹣x+]≥2,[〔﹣x+]≥2,∴min{x+,4}≤﹣2,∴8x≤﹣2,x≤﹣,,x≥﹣,综上不等式的解集为．故答案为：．．[点评]本题主要考察基本不等式的关系将已知的不等式进行转化,然后求解,属于基础题．三、解答题〔共5小题,满分68分16．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若msinA=sinB+sinC〔m∈R．〔I当m=3时,求cosA的最小值；〔Ⅱ当A=时,求m的取值围．[分析]〔I由题意和正弦定理可得3a=b+c,再由余弦定理可得cosA=,由基本不等式可得；〔Ⅱ由题意可得m=sinB+sinC,由三角函数公式化简可得m=sin〔B+,由B∈〔0,和三角函数的值域可得．[解答]解：〔I∵在△ABC中msinA=sinB+sinC,当m=3时,3sinA=sinB+sinC,由正弦定理可得3a=b+c,再由余弦定理可得cosA===≥=当且仅当b=c时取等号,故cosA的最小值为；〔Ⅱ当A=时,可得m=sinB+sinC,故m=sinB+sinC=sinB+sin〔﹣B=sinB+〔cosB+sinB=sinB+cosB+sinB=sinB+cosB=sin〔B+,∵B∈〔0,,∴B+∈〔,,∴sin〔B+∈〔sin,1],∴sin〔B+∈〔sin,],由=cos=1﹣2sin2可解得sin=sin=∴m的取值围为〔,],[点评]本题考查三角函数恒等变换,涉及正余弦定理解三角形和基本不等式以及三角函数的值域,属中档题．17．在底面是正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=2,AA1⊥平面ABC,E,F分别为BB1,AC的中点．〔1求证：BF∥平面A1EC；〔2若AA1=2,求二面角C﹣EA1﹣A的大小．[分析]〔1取A1C的中点H,连结HE,HF,推导出四边形EBFH为平行四边形,由此能证明BF∥平面A1EC．〔2设AB中点为G,连结EG,CG,推导出∠GEC为二面角C﹣EA1﹣A的平面角,由此能求出二面角C﹣EA1﹣A的大小．[解答]证明：〔1取A1C的中点H,连结HE,HF,则HF∥A1A,HF=A1A,∴EB∥HF,且EB=HF,∴四边形EBFH为平行四边形,∴BF∥EH,且EH⊂平面A1EC,BF⊄平面A1EC,∴BF∥平面A1EC．解：〔2设AB中点为G,连结EG,CG,∵CG⊥AB,CG⊥AA1,AB∩AA1=A,∴CG⊥平面BAA1B1,∴CG⊥EA1,且EC=A1E=,A1C=2,∴+EC2=,∴EC⊥EA1,∵CG∩EC=C,∴EA1⊥平面EGC,∴EG⊥EA1,∴∠GEC为二面角C﹣EA1﹣A的平面角,且EG=GC=,EC=,∴∠GEC=45°．∴二面角C﹣EA1﹣A的大小为45°．[点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养．18．设公差不为0的等差数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且,,成等比数列．〔1求数列{an}的通项公式及Sn；〔2设bn=,tn=,且Bn,Tn分别为数列{bn},{tn}的前n项和,比较Bn与Tn+的大小．[分析]〔1由等比数列性质得,由等差数列通项公式得〔a1+d2=a1〔a1+3d,由此能求出数列{an}的通项公式及Sn．2由裂项求和法得到Bn=2〔1﹣,由等比数列的性质得到Tn=2〔1﹣,从而得到Bn＜Tn+．[解答]解：〔1设等差数列的公差为d,∵公差不为0的等差数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,,,成等比数列,∴,∴〔a1+d2=a1〔a1+3d,由d≠0,解得d=1,∴an=n,Sn=．〔2∵Sn=,∴=,∵bn=,tn=,且Bn,Tn分别为数列{bn},{tn}的前n项和,∴Bn=2〔1﹣=2〔1﹣,∵tn==,∴Tn===2〔1﹣,∴Tn+=2,∴Bn＜Tn+．[点评]本题考查数列的通项公式和前n项和的求法,考查数列有前n项和的大小的比较,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．19．设函数f〔x=|x2﹣a|﹣ax﹣1〔a∈R．〔I若函数y=f〔x在R上恰有四个不同的零点,求a的取值围；〔Ⅱ若函数y=f〔x在[1,2]上的最小值为g〔a,求g〔a的表达式．[分析]〔I若函数y=f〔x在R上恰有四个不同的零点,讨论a的围,结合一元二次函数的图象和性质即可求a的取值围；〔Ⅱ根据一元二次函数的单调性和对称性的关系,进行求解即可．[解答]解：〔I若函数y=f〔x在R上恰有四个不同的零点,则等价为f〔x=|x2﹣a|﹣ax﹣1=0,即|x2﹣a|=ax+1有四个不同的解,若a≤0,则方程x2﹣a=ax+1至多有两个根,不满足条件．若a＞0,则y=x2﹣a与y=ax+1两个图象有四个不同的交点,①当y=ax+1与y=﹣x2+a相切时,得a=﹣2±2,〔负值舍掉,②当y=ax+1过点〔﹣,0时,得a=1,∴2﹣2＜a＜1,即a的取值围是〔2﹣2,1〔Ⅱ①当a≤1时,f〔x=x