2023年高考数学文一轮复习教案第2章2.8函数的图象

2.8函数的图象【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【知识梳理INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．利用描点法作函数图象的方法步骤2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up11(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变),\s\do9(0<a<1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变))y＝f(ax)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af(x)．(3)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．(4)翻折变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【常用结论INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．2．函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(×)(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(×)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×)INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【教材题改编INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．下列图象是函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是()答案C解析其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．2．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.答案e－x＋1解析f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.3.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1,2)，则实数t的值为________．答案1解析由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4即为f(3)<f(x＋t)<f(0)，故x＋t∈(0,3)，即不等式的解集为(－t，3－t)，依题意可得t＝1.题型一作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝|lg(x－1)|；(3)y＝x2－|x|－2.解(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．(3)y＝x2－|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\2-101.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\2-101.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\2-101.TIF"INET【①②③INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】作出下列函数的图象：(1)y＝2－|x|；(2)y＝sin|x|.解(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x图象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象，如图①实线部分．图①图②(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．跟踪训练1作出下列函数的图象：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝|x2－4x＋3|.解(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．①②题型二函数图象的识别例2(1)(2022·百师联盟联考)函数f(x)＝eq\f(x·cosx,e|x|)的图象大致为()答案D解析由题意知，f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(－x·cos－x,e|－x|)＝eq\f(－x·cosx,e|x|)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，排除C；f(1)＝eq\f(cos1,e)>0，排除A；f(2)＝eq\f(2cos2,e2)<0，排除B.(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()答案B解析y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(作关于y轴对称的图象))y＝f(－x)eq\o(→,\s\up7(向右平移2个单位长度))y＝f(2－x)eq\o(→,\s\up7(作关于x轴对称的图象))y＝－f(2－x)．【备选】(2022·咸阳模拟)函数f(x)＝cosπx＋ln|2x|的大致图象是()答案C解析因为f(x)＝cosπx＋ln|2x|(x≠0)，所以f(－x)＝cos(－πx)＋ln|－2x|＝cosπx＋ln|2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A；f(1)＝cosπ＋ln2＝－1＋ln2<0，故排除选项B；f(2)＝cos2π＋ln4＝1＋2ln2>0，故排除选项D.思维升华识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．跟踪训练2(1)函数f(x)＝eq\f(3x－3－x,x4)的大致图象为()答案B解析易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝eq\f(3－x－3x,－x4)＝－eq\f(3x－3－x,x4)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－eq\f(1,3)＝eq\f(8,3)>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合．(2)如图可能是下列哪个函数的图象()A．y＝2x－x2－1B．y＝eq\f(2xsinx,4x＋1)C．y＝(x2－2x)exD．y＝eq\f(x,lnx)答案C解析函数的定义域为R，排除D；当x<0时，y>0，A中，x＝－1时，y＝2－1－1－1＝－eq\f(3,2)<0，排除A；B中，当sinx＝0时，y＝0，∴y＝eq\f(2x·sinx,4x＋1)有无数个零点，排除B.题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例3已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．命题点2函数图象在不等式中的应用例4若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________．答案(1,2]解析如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象．由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,loga2≥1，))解得1<a≤2.命题点3求参数的取值范围例5已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－x，x≤0，,log2x－x，x>0，))若方程f(x)＝－2x＋a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析方程f(x)＝－2x＋a有两个不同的实数根，即方程f(x)＋x＝－x＋a有两个不同的根，等价于函数y＝f(x)＋x与函数y＝－x＋a的图象有两个不同的交点．因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－x，x≤0，,log2x－x，x>0，))所以y＝f(x)＋x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,log2x，x>0，))作出函数y＝f(x)＋x与y＝－x＋a的大致图象如图所示．数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)＋2x－a有两个不同的零点．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为______________．答案(－2，－1)∪(1,2)解析∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图．当x∈(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)时，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1,2)．思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．跟踪训练3(1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当0<a<1时，两函数图象有一个交点．故a>1.(2)奇函数f(x)的定义域为(－1,1)，f(x)在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式f(x)<x的解集为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析因为奇函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，所以定义域内的函数图象，如图所示，当f(x)＝x时，解得x＝eq\f(\r(2),2)或x＝－eq\f(\r(2),2)，由图象知，不等式f(x)<x的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).课时精练1．函数f(x)＝eq\f(3x,x2＋cosx)的图象大致为()答案A解析因为f(－x)＝－eq\f(3x,x2＋cosx)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为f(π)＝eq\f(3π,π2－1)>0，所以排除C.2．为了得到函数y＝lg

eq\f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案C解析∵y＝lg

eq\f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1，∴y＝lgxeq\o(→,\s\up7(向左平移3个单位长度))y＝lg(x＋3)eq\o(→,\s\up7(向下平移1个单位长度))y＝lg(x＋3)－1.3.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝(4x－4－x)|x|B．f(x)＝(4x－4－x)log2|x|C．f(x)＝eq\f(4x＋4－x,|x|)D．f(x)＝(4x＋4－x)log2|x|答案D解析由图知，f(x)为偶函数，故排除A，B；对于C，f(x)>0不符合图象，故排除C；对于D，f(－x)＝(4x＋4－x)log2|x|＝f(x)为偶函数，且在区间(0,1)上，f(x)<0，符合题意．4．(2022·银川质检)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,lnx＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(5,4)C．－1D．－2答案C解析∵f(－1)＝0，∴ln(－1＋a)＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b过点(－1,3)，∴2×(－1)＋b＝3，∴b＝5，∴f(－3)＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.5．(2022·长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()图①图②A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)答案B解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|)．6．下列函数中，其图象与函数f(x)＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)答案B解析方法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．方法二由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数f(x)＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.7．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的个数是()①f(x＋2)是偶函数；②f(x＋2)是奇函数；③f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增；④f(x)没有最小值．A．1B．2C．3D．4答案B解析f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，①正确，②错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，③正确，④错误．8．(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,，x>0，))若函数g(x)＝f(x)＋2－m有4个零点，则m的取值范围为()A．(0,1) B．(－1,0)C．(1,3) D．(2,3)答案D解析由g(x)＝f(x)＋2－m＝0，得f(x)＝m－2，所以问题转化为函数f(x)的图象与直线y＝m－2有4个不同的交点，函数f(x)的图象如图所示，所以0<m－2<1，得2<m<3，所以m的取值范围为(2,3)．9．已知函数y＝f(－x)的图象过点(4,2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________．答案(－4,2)解析y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，故y＝f(x)的图象一定过点(－4,2)．10．若函数f(x)＝eq\f(ax－2,x－1)的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.答案1解析f(x)＝eq\f(ax－a＋a－2,x－1)＝a＋eq\f(a－2,x－1)，关于点(1，a)对称，故a＝1.11．(2022·青岛模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x<0，))则对任意x1，x2∈R，若x2>0>x1>－x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．答案f(x1)<f(x2)解析作出函数f(x)的图象(图略)，由图知f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∵0>x1>－x2，∴f(x1)<f(－x2)＝f(x2)．12．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq\f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).13．(2022·济南模拟)若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,\f(2,ex)，x≥0，))则f(x)的“和谐点对”有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案B解析作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝eq\f(2,ex)(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．14．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(