应用随机过程 综述

--WORD-----Institute课程设计（论文）课程名称：应用随机过程设计题目：综述院系：电子与信息工程学院班级：09硕通信一班设计者：学号：指导教师：田波平设计时间：2009-11至2009-12----WORD-----哈尔滨工业大学课程设计任务书姓专院班年月年月日．----WORD-----无年月日年月日----WORD-----1.特征函数是一个统计平均值，它是由随机变量X组成的新的随机变量eX的数学期望，记为：()E(e)））jX当为连续随机变量时，则的特征函数可表示成XX()Eef(x)edxiXix其中()为的概率密度函数。fxX对于随机过程的特征函数的定义与随机变量的特征函数的定义一致。对任意时刻t,随机过程的一维特征函数为：(,t)[e]f(x,t)edxiXt）ixX2.以下本文不加证明的给出特征函数的几个性质：(1)|()|(0)1；(2)共轭对称性())；(3)特征函数()在区间(,)上一致连续；b,)()abea；设随机变量YYX其中),)分别表示随机变量,的特征函数。上式对于随机过程同样适用。XYXY,YZXY则)))；XZ此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积。XY3.X变为Xt将概率作用与意义做统一的讨论。3.1利用特征函数求随机过程的概率密度----WORD-----根据特征函数的定义，特征函数与概率密度有类似傅里叶变换的关系，即()f(x)edx））ixX1efxdxjxXX一负号。的概率密度函数在随机过程的研究过程中，经常会利用已知的随机过程(),XtXt21f1(x,t),fx,t122过程。为相互独立的高斯随机过程，数学期望为0，方差为1，求1的概率密度。XtXt已知随机过程(),2Yt)Xt)Xt12已知数学期望为0，方差为1的高斯过程的概率密度为1x2fx,tXe）2(),XtXt2的1特征函数22fx,teef,teejx，jx）22X1X1X2X2利用特征函数的性质（5）e2YX1再次利用特征函数与概率密度之间类傅里叶变换的关系，可得的概率密度X2Y11y2fy,tYedjye）42Y要简单的多。很方便的对某些随机过程的特定组合的概率进行求解。3.2离散状况下的特征函数在求解分布函数中的应用受傅立叶变换物理意义的启发,,特征函数的新解释:可以看作是以()为基的可列无穷维空间下的坐标分解,第k维ejxkk的坐标值为p。则k----WORD-----pe）jxkkkp1ekd）k(t)为基的实数势无穷维空间下的坐标分解，其中p可以看作是以edjkk1是在基下的坐标值。上述新解释在求解离散随机过程的概率分布时有非edjx常重要的应用。下面以一个例子来说明：,例如求下列各随机变量ζ的概率分布已知其特征函数分别为:(1)cos(2)cos21ee2xT,limd，但计由反演公式可解决此问题即利用公式FxFx112TT算过程比较繁杂。如果利用本文提出的新解释去求这个问题就非常简单，现用此法求解。分析:只要将特征函数进行坐标分解即可,可以看作是以()kjke为基的可列无穷维空间下的坐标分解,第k维的坐标值为p,惟一性定理可知p即为概kk率分布。解：(1)ei11eeePx1ePx1e1ii11i1i222由惟一性定理可知,它的概率分布惟一,P(ζ=1)=0.5,P(ζ=-1)=0.5,即ζ所求的概率分布。(2)1cos1112coseeePx0ePx2ePx2e20i2i2i022244,由惟一性定理可知它的概率分布惟一，P(ζ=0)=0.5,P(ζ=2)=0.125,P(ζ=-2)=0.25，即为ζ所求的概率分布。,而且能使特征函数相关的求解问题化繁为简。3.3利用特征函数求解随机过程的矩函数特征函数与矩函数是一一对应的，因此特征函数也称为矩生成函数。设随机变量的阶原点矩存在，则它的特征函数可以微分次，且有nnXdnEX,jxfxt））nnnXdXn0这是因为，当对特征函数求n阶导数时可得djxfx,tjEXnjxefxdxjxXnnnnnndnXX00----WORD-----到很大的简化。以下通过一个例子来简要说明这种求解过程。例如，求解数学期望为0的高斯随机过程的各阶矩。Xt的概率密度函数为Xt易得数学期望为0，方差为2的高斯过程1x22fxXte由的概率密度求特征函数Xt2fx,teejx2XX再利用上面介绍的特征函数与矩函数的关系可得20EXt