正余弦定理的应用-测量

正弦定理余弦定理a2

=b2+c2-2bccosAb2

=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC

利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和其夹角，求第三边和其余两个角.

利用正弦定理可以解决两类解斜三角形问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角；(2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角和其余.正余弦定理的应用举例

正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用。下面介绍它们在测量距离、高度、角度等问题中的应用。在这些应用问题中，测量者借助于经纬仪与钢卷尺等测量角和距离的工具进行测量。

仰角与俯角：水平线)

仰角俯角)

方向角：

东偏南30

方向东南西北在同一竖直平面内，目标视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角.30

)例1.如图A、B两点在河的两岸，要测量两点间的距离.A•B••C)51º(75

55测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测得AC=55米,

BAC＝51

,ACB=75

,计算AB长(精确到0.01米)．[小结]

本例是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题.[思考]

题中为什么要给出这些已知条件？——可实际测量例2.设河两岸在同一平面内.A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间距离的方法.D••CA•B•))(([分析]在河岸这边取点C、D,测得CD=a,

ADC=,BDC=,ACD=,BCD=.在

ADC中,由正弦定理求AD；在

BDC中,由正弦定理求BD；在

ADB中,由余弦定理求AB.

本例是测量两个不可到达的点之间的距离的问题.

(转化为应用余弦定理求边长)例3.AB是底部B不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法.AB

)

HC

)Eh

GDa

应用正余弦定理解决实际问题的步骤：

分析题意，画出示意图；

建立数学模型,将实际问题转化为解三角形,确定所涉及的三角形,并确定该三角形的已知、未知元素;

计算，选用正、余弦定理求解；

将结论还原为实际问题.例4.如图，已知铁塔BC部分的高a.设计一种测量山高CD的方法.BCAD在地面上一点A测得山顶铁塔上B处的仰角

,测得塔底C处的仰角

,求出山高CD.[练习]如图,在200m的山顶A测得山下一铁塔的塔顶B处与塔底C处的俯角分别为30

，60,求塔高BC.CADB例5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北

角的方向上,行驶

a公里后到达B处，测得此山顶在西偏北

角的方向上,仰角为，求此山的高度.•A•BDO

(

(

(

测量底部不可到达的建筑物高度的问题：

用正余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.[练习]某人在塔的正东沿着南偏西60

的方向前进40米后,望见塔在东北，若沿途测得塔的最大仰角为30

，求塔高.ACB

例6.如图，一艘海轮从A出发,沿北偏东

角的方向航行

a距离后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东

角的方向航行b距离后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?

[练习]如图，甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60

方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的倍，问：甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？东北60

)AB例7.某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号.我海军舰艇在A处获悉后，支即测出该渔轮在方位角为45º，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105º

的方向，以9海里/时的速度向小岛靠拢.我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,为使渔轮尽快得救求出舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.ACB45º105º

为使尽快营救，舰艇必须直线航行，且恰好在前进方向上遇到渔轮.(提示：设舰艇收到信号后x小时在B处靠拢渔轮)[练习]我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C,D，已知

ACD为边长为a的正三角形.当目标出现于B时,测得BDC=45º,BCD=75º,求炮击目标的距离AB.DACB)45º(75º

三角形求解时，选择特殊角更简单.例8.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30

且与港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.