ch08扩散过程与随机分析初步

“扩散过程与随机分析初步随机过程论新工科建设之路第八章01扩散过程及其生成元1.古典扩散模型与例子1.古典扩散模型与例子命题8.11.古典扩散模型与例子命题8.11.古典扩散模型与例子命题8.11.古典扩散模型与例子命题8.11.古典扩散模型与例子类似于Brown运动的相应计算方法，我们容易算出以上三个过程的扩散系数均为1，漂移系数均为0(对x>0)，即它们有相同的形式生成元。然而，它们有不同的无穷小生成元不同处就在于定义域不一样。1.古典扩散模型与例子2.扩散过程应该指出，不同的书中对扩散过程给出了不同的定义，虽然它们大体上相同，但彼此却并不等价:我们这里采用的是一种最常见且简单的说法(还有一种较为普遍的定义是:连续轨道的强马氏过程)。2.扩散过程扩散过程理论在物理、化学、生物、工程、经济等领域中有广泛的应用。例如，分子运动、带噪声的通信系统、有干扰的神经生理活动、生物膜中的渗透过程、进化过程中的基因更替、期货与期权定价等一系列研究中，扩散过程都能提供一个很好的近似模型。此外，扩散过程理论也与微分方程的研究有密切的联系。许多扩散过程的泛函，例如击中分布、平均吸收时间、占位时间分布、不变测度等都是一些微分方程的边值或初值问题的解，扩散理论不仅可以提供一些系数与边界要求较宽的微分方程解的存在性、唯一性条件，而且直观的概率意义也可以为微分方程的问题的合理提法提供启迪。在微分方程的计算方面，MonteCaro方法就是用计算机模拟扩散过程，并以大量现实(轨道)的算术平均来近似过程的统计平均去求方程的解。3.扩散过程的纯分析构造方法对给定的A和b，有许多不同的途径去构造它们相应的扩散过程，它们各有自己的局限性与优点。例如，纯分析构造方法对系数光滑性要求较高，而且又要用到微分方程的冗长而又沉重的基本解定理，但是它的结果具体，并可导出前进、后退方程。在本章的后半部分我们将介绍纯概率构造方法——利用随机微分方程的方法。本节中我们先介绍纯分析构造方法，应用冗长而沉重的偏微分方程的基本解定理，由于它已大大超出本书的范围，我们只引用而不做任何论证。定理8.13.扩散过程的纯分析构造方法定理8.13.扩散过程的纯分析构造方法定理8.13.扩散过程的纯分析构造方法定理8.1遗憾的是定理8.1要求的条件太强，它排斥了许多有趣的情况，甚至线性扩散也不完全满足它的条件，这是偏微分方程方法的不足之处。为了补足这一方面，需要尝试构造扩散过程还有半群方法及随机微分方程方法等。4.向前与向后方程在一些条件下，一个扩散过程的转移密度应满足方程并且是方程的基本解。我们称式(85)为Komogorov向后方程。下面的定理82给出Kolmogorov向前方程(或称Fokker-Plank方程)成立的条件。4.向前与向后方程定理8.24.向前与向后方程定理8.24.向前与向后方程定理8.24.向前与向后方程定理8.24.向前与向后方程定理8.25.狄氏问题的概率表示定理8.35.狄氏问题的概率表示定理8.35.狄氏问题的概率表示定理8.35.狄氏问题的概率表示定理8.35.狄氏问题的概率表示定理8.3是方程的解(如果此解存在并且满足二阶连续可微到边界)。此处的讨论是以微分方程狄氏问题解的存在性与直到边界的二阶连续可导性为前提的这似乎使人感到用概率方法研究狄氏问题的效果并不好。事实上，利用概率方法也可以独立地得到结论:当L的系数满足一定的光滑性要求时，由条件期望定义的函数是式(810)的Sobolev解，再由Sobole嵌入定理进而说明它也是强解。6.边界性质定义8.1图8-1给出了这个定义的直观含义。事实上，若存在一个以x为顶点的锥全不在D中，则x必为正则点。6.边界性质命题8.2命题8.36.边界性质命题8.36.边界性质命题8.36.边界性质命题8.46.边界性质命题8.46.边界性质命题8.46.边界性质命题8.402随机积分与微分(Ito积分)1.Ito积分的定义1.Ito积分的定义命题8.41.Ito积分的定义命题8.41.Ito积分的定义命题8.41.Ito积分的定义命题8.51.Ito积分的定义命题8.51.Ito积分的定义命题8.51.Ito积分的定义命题8.51.Ito积分的定义命题8.51.Ito积分的定义命题8.61.Ito积分的定义命题8.62.Ito公式类似于实函数微积分中的复合函数微分公式，对随机微分也有相应的公式一-Ito公式这里我们将复合函数微分公式写为积分形式。2.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.503随机微分(积分)方程的解与扩散过程1.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.61.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.6证明1°我们用类似常微分方程中的逐次逼近法来证明式(8.17)的解的存在性。令1.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.61.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.61.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.6根据式(819)，容易用归纳法证明于是可见由Borel-Cantelli引理，以下极限几乎处处存在且有限。1.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.61.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.61.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.61.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.61.Ito随机微分方程的强解的存在唯一性定理8.62.由Ito方程构造扩散过程定理8.7在定理86中所得的解是一个强马氏过程。2.由Ito方程构造扩散过程定理8.72.由Ito方程构造扩散过程定理8.72.由Ito方程构造扩散过程定理8.82.由Ito方程构造扩散过程定理8.82.由Ito方程构造扩散过程定理8.82.由Ito方程构造扩散过程定理8.804与扩散过程相联系的赖与Girsanov公式1.指数鞅命题8.72.Brown运动平移的测度(Girsanov公式)定理8.92.Brown运动平移的测度(Girsanov公式)定理8.92.Brown运动平移的测度(Girsanov公式)定理8.92.Brown运动平移的测度(Girsanov公式)定理8.92.Brown运动平移的测度(Girsanov公式)定理8.92.Brown运动平移的测度(Girsanov公式)定理8.92.Brown运动平移的测度(Girsanov公式)定理8.93.扩散过程的勒方法简单介绍在用随机微分方程研究从偏微分方程角度表达的扩散现象的扩散过程中，作为随机驱动力的Brow运动只起到了参数的