随机过程论（第3版）课件 ch06马氏过程

“马氏过程随机过程论新工科建设之路第六章马氏过程在第三至五章中，我们分别研究了可数状态的马氏过程和一种特殊的以Rd为状态空间的马氏过程-Brown运动，我们对马氏过程已经有一些具体的了解。本章我们将对马氏过程进行一般的研究:讨论它的半群与无穷小生成元、强马氏性，以及轨道性质等问题。在第七章，我们再简单介绍一下近年来发展很快且受到普遍重视的几个有关问题:无穷粒子系统的统计模型、点过程和随机测度。01马氏过程与半群及鞅问题马氏过程与半群及鞅问题在5.2节中，我们知道半群及其无穷小生成元可将离散状态空间(如马氏链)与连续状态空间(如BMd)的马氏过程做统一的刻画，使我们更能把握住马氏过程的特征。本节中我们给出一般的马氏过程半群理论。1.马氏过程对应的半群命题6.11.马氏过程对应的半群命题6.11.马氏过程对应的半群命题6.21.马氏过程对应的半群命题6.22.无穷小生成元考查2.无穷小生成元命题6.32.无穷小生成元命题6.32.无穷小生成元命题6.32.无穷小生成元命题6.42.无穷小生成元命题6.42.无穷小生成元命题6.42.无穷小生成元命题6.42.无穷小生成元定理6.12.无穷小生成元定理6.12.无穷小生成元定理6.12.无穷小生成元定理6.12.无穷小生成元定理6.12.无穷小生成元定理6.12.无穷小生成元定理6.12.无穷小生成元定理6.12.无穷小生成元定理6.13.鞅问题与弱生成元上面讲到，无穷小生成元是按B(ƒ)中的强收敛定义的，因而它的定义域比较小，而且较难确定。特别是在很多情况下，问题往往是要求对已知的形式无穷小生成元去找出其相应马氏过程。这时，能够给出一个要求较弱的类似无穷小生成元的刻画就很方便。Stroock-Varadhan提出了马氏过程的鞅问题的模型，这为在马氏过程中使用鞅方法提供了指导。下面我们来介绍鞅问题的模型。首先，注意到式(6.2)还可以写成积分形式，即3.鞅问题与弱生成元也就有由马氏性与时齐性就得到3.鞅问题与弱生成元3.鞅问题与弱生成元命题6.53.鞅问题与弱生成元命题6.53.鞅问题与弱生成元命题6.53.鞅问题与弱生成元命题6.602强马氏性、过程的截止与Feymann-Kac公式1.推移算子与强马氏性在讨论马氏过程沿轨道的性质时，利用第一章1.3节中引入的推移算子是很方便的，而且它对于其他过程的研究也有益。假定T对加法封闭。2.具有强马氏性的条件我们在第四章中已经知道，对于只有可列个取值的停时7，马氏过程必有强马氏性。但是一般情况下，并非所有马氏过程都有强马氏性。本节主要讨论对一个轨道右连续的马氏过程，在其转移函数(半群)上附加什么条件就能保证有强马氏性。定义6.12.具有强马氏性的条件定理6.22.具有强马氏性的条件定理6.22.具有强马氏性的条件定理6.2成立。再利用在有界收敛意义下，连续函数可逼近有界可测函数，于是式(6.12)就对一切有界可测函数成立。3.过程的截止命题6.73.过程的截止命题6.73.过程的截止命题6.73.过程的截止命题6.73.过程的截止命题6.73.过程的截止命题6.73.过程的截止命题6.74.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.303度量空间中测度的弱收敛及马氏过程在C空间与D空间的实现1.度量空间上的测度空间1.度量空间上的测度空间定义6.21.度量空间上的测度空间定义6.2定义6.31.度量空间上的测度空间定义6.41.度量空间上的测度空间定义6.41.度量空间上的测度空间定义6.41.度量空间上的测度空间定义6.41.度量空间上的测度空间命题6.81.度量空间上的测度空间命题6.82.胎紧与(X)的紧性定理6.52.胎紧与(X)的紧性定理6.52.胎紧与(X)的紧性定义6.4定理6.62.胎紧与(X)的紧性定理6.6定理6.72.胎紧与(X)的紧性定理6.72.胎紧与(X)的紧性定理6.73.连续函数空间上的测度3.连续函数空间上的测度3.连续函数空间上的测度3.连续函数空间上的测度命题6.94.马氏过程在连续函数空间上的实现设已知转移函数族定理6.84.马氏过程在连续函数空间上的实现定理6.84.马氏过程在连续函数空间上的实现引理6.24.马氏过程在连续函数空间上的实现引理6.24.马氏过程在连续函数空间上的实现引理6.24.马氏过程在连续函数空间上的实现引理6.24.马氏过程在连续函数空间上的实现引理6.24.马氏过程在连续函数空间上的实现引理6.24.马氏过程在连续函数空间上的实现引理6.24.马氏过程在连续函数空间上的实现引理6.24.马氏过程在连续函数空间上的实现定理6.9对一般的随机过程，我们还有一个关于它在连续函数空间上实现的推广的Kolmogorov定理，它对于独立增量过程，使用起来特别方便。下面我们给出这些定理，而略去其证明。4.马氏过程在连续函数空间上的实现定理6.105.D[0,1]上的测度般来说，给定了取值于度量空间的转移函数族{P(t;x,A}，对应的马氏过程并不一定能在连续轨道上实现，我们在第四章与第五章中已经看到了反例。因此，我们退一步再考虑给定了转移函数，在什么条件下它决定的马氏过程可以是几乎全部轨道右连续而且具有左极限的，也即它可以在右连续、具有左极限的轨道空间(记为D[0,1])上实现。令5.D[0,1]上的测度定义6.55.D[0,1]上的测度定义6.55.D[0,1]上的测度定义6.5Varadhan利用D[0,1]空间上概率分布的弱紧条件重新证明了Kolmogorov关于随机过程能在D[0,1]空间上实现的矩条件的定理及Dynkin关于马氏过程能在D[0,1]空间上实现的致o(1)条件的定理。这不仅在方法上更统一、更现代化，而且更加直观。由于Varadhar的证明很难在一般书上找到，而且它太长，我们在这里介绍Varadhan的证明纲要。为此我们先列出D[0,1]空间上连续模的一系列事实，它们是不难证明的。5.D[0,1]上的测度定义6.55.D[0,1]上的测度定理6.115.D[0,1]上的测度定理6.115.