高等数学习题全解第11章无穷级数_第1页
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第八 级数的应习 11-利用函数的幂级数展开式,求以下各数的近似值ln3误差不超过104(误差不超过105sin3o误差不超过105(误差不超过103

n1解

ln(1x)

nnln(1x) n

1 1 两式相减得ln1x22n x(1,1).令

3,得x (1,1), 1 ln3 212

) 3 5 (2nr (2n

(2n

] (2n

[12n1(2n3)

(1

1

(2n

22

(2n

14

试算r 0.000025,故取n6,有r

104, ln3 2( 3 5 7 9 11利用(1x)m15 4 115(254)5 (1)5

(1) 1 116 (1)n1611(5n4)2[1 2 n]5 2!5 r

11161n4)

11

11611(5n ,n5 2 14 r111611162110.110515 14 151[111161161111611161]0.48836 5 2!52 30π(弧度),利用sinxsinππ1(π)31(π)5 3! 5!取n2,r1(π)5106sinππ1(π)30.05234 5! 3! 由ex1x1x21n ee21 e

r (n

(n 1 1(n (n2) (n2)(n3) (111 (n

22

取n4,

0.0003103,从而1111 利用函数的幂级数展开式,求以下定积分的近似值1sinxdx(误差不超过1040 ​

2 dx(误差不超过10).01x解 由于limsinx1,因此所给积分不是广义积分.如果定义被积函数x0x0处的值为1,则它在积分区间[0,1]上连续.sinx 由 1 (x), 1sinxdx＝11110 3 5 7因为第四项 ,所以前三项的和作为积分的近似值7 1sinxdx1110 3 5 dx dx

2 01

2(1xx(1) [x1x51x9(1)n

x4n1 4n ()() (111 ()() ( 5 9 4n1

r

,11130.000009,

( dx 01 f(x2为周期的函数,它在(1,1]f(xex.f(x展开成复数形式的傅里叶级数解a1exdx[ex]1ee1,a1excosnπxdx

1

1an1e cosnπxdxn2π2(ee)n2π21e 1x从而an1n2π2(ee).对bn1 bn1excosnπxdxnπ(1)n(ee1)n2π21exsinnπxdx 从而bn1n2π2(ee),故c0

2an 1 cn [ 22(ee)i 22(ee)]

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