2023学年完整公开课版任意角市赛

第5章三角函数511任意角角的定义【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角例如体操中的“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等动作这里不仅角度超出了0°~360°，并且旋转的方向也不相同【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度，我们知道，要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要我们对角的概念加以推广角的分类【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有任何旋转，那么它就形成了一个零角零角的始边和终边重合，如果是零角，那么

左图中的角是一个正角，它等于730°右图中，正角，负角，，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针与分针在旋转时形成的角总是负角730°

为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角或∠可以简记为

相等角、角的加减【1】设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角角α的相反角记为-α，则α-β=α-βαβαβαα-α-αOA于是角的减法可以转化为角的加法相等角、角的加减【总结】（1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0°~360°（2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋转30°和逆时针旋转30°缩成的角是不同的，它们互为相反角（3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少（4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加减规则象限角与轴上角:【定义】我们通常在坐标系内讨论角为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角的终边始终与轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角如下图左边的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角αβ如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我们称这个角为轴上角如上边右图的角γγ30°-120°象限角与轴线角【问题】锐角，第一象限角，小于90°的角，它们之间的区别是什么？α=390°【答】①第一象限角不一定是锐角，如图左②锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如图中30°75°③小于90°的角还包括零角和负角，如图右α=0°β=-130°【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？终边相同的角30°OB【答】不难发现，OB除了可以表示30°的角之外，还可以表示390°，-330°等角与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与个∈周角的和390°=30°360°=1，-330°=30°-360°=-1一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S={β|β=α·360°，∈}即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和那么终边相同的角有什么关系？否【总结】对于S={β|β=α·360°，∈}的理解应注意以下几点：终边相同的角【1】α是任意角【2】∈有三层含义：①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角②一般性：表示所有与角α终边相同的角包括角α本身③从集合意义上看，表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，取正整数时，逆时针旋转；取负整数时，顺时针旋转；=0时，没有旋转【3】集合中的·360°与α之间用连接，如·360°-30°应看成·360°-30°，表示与-30°角终边相同的角例1在0°~360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角轴上的角的集合【整理】轴线角的集合表示终边相同的角{α|α=·360°，∈}{α|α=·360°180°，∈}{α|α=·360°90°，∈}{α|α=·360°270°，∈}{α|α=·180°，∈}{α|α=·180°90°，∈}{α|α=·90°，∈}=上的角的集合S拓展一：分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合【解】①在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的范围是30°≤α≤105°，所以在坐标系中角α的范围是

30°75°①②{α|·360°30°≤α≤·360°105°,∈}②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的范围是210°≤α≤285°，所以在坐标系中角α的范围是{α|·360°210°≤α≤·360°285°,∈}拓展二：若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置【解】①因为α是第二象限角，所以

·360°90°＜α＜·360°180°,∈所以2·360°180°＜2α＜2·360°360°,∈如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或者位于y轴的负半轴上拓展三：若α是第二象限角，请确定的终边所在的位置【解】①因为α是第二象限角，所以

①·360°90°＜α＜·360°180°,∈所以