江苏省淮安市淮阴区淮阴中学2022年数学高三第一学期期末经典试题含解析

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题出给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。C不共线，则“ABACBC”是“ABAC”（）A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件(i1)24i1z2．复数的虚部为（）A．—1B．—3C．1D．2x1ax5的展开式中项的3．若aR，则“”是“a3系数为90”的（）x3A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．马林当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1.若执行如图所示的程序框图，则输出的素数的个数是（）人们为（其中是素数）的素数，称为梅森素数梅森pA．3B．4C．5D．6D．11i1iz，则的虚部是（）z5．已知复数C．1iA．iB．e|x|sin2x的部分图象大致是（）A．B．C．D．式子表示即为：在ABC中，角A,B,C所7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代214abc222边分别为a,b,c，则ABC的面积S对的(ab)2.根据此公式，若2acosBb3ccosA0，且a2bc2，则ABC的面积为（）22A．B．C．6D．23222aa4a7a3n2a4n，则aaaaaa（）8．已知数满足n1列23n233421225A．8355D．2B．C．449．一个组合体的三视图如图所示（图体积是（）中网格小正方形的边长为1），则该几何体的1B．21C．22D．242f(x)eb的一条切线为ya(x1)，则ab的最小值为（）10．已知函数x1112A．2eB．4eC．D．ee11．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为()A．B．C．D．”“ab12．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则是”的mabbm“（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．即不充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．给出以下式子：①tan25°+tan35°3tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；1tan15③1tan15其中，结果为3的式子的14．已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，的表面积为4的球面上有两点，，球心为为，则四面体的外接球的序号是_____.PABC5,PBAC15,PCAB25，则球O__________.15．已知半径为O，若球面上的动点C满足二面角的大小半径为_________.PF20,1______________．16．已知点是P抛物线x4y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为，则的最小值为PA三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f(x)|x1||2x1|（1）解不等式f(x)x2；fxgx成立，（2）若函数g(x)|x2019||x2021a|，若对于任意的xR，都存在xR，使得1212求实数a的取值范围.18．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100组别频数2515020025022510050（1）已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N,210，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求P36Z79.5；（2）在（1）的条下件，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.（ⅰ）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元20403414概率现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．X0.6827，P2X20.9545，附：21014.5，若XN,P，则2P3X30.9973.19．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求证：平面⊥平面BDEF；ADE（Ⅱ）若二面角的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．CBFDPABCD的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，MPCEDC150,将且BM平面PCD.（1）求证：平面平面ABCD；1（2）若直线PCAB与所成角的正切值为，求直线BM与平面所成角的正弦值.PDB221．（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：0,22,44,66,88,1010,12时间人数15（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间”有关60907545154天的人员里非流动人员有60与是否流动人员.列联表如下流动人员非流动人员总计时间不超过4天办理社保手续所需6090时间超过4天总计210300（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取名流动8,1212人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.10,12n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)K附：2PKk0.100.050.0106.6350.0057.87920k2.7063.8410AD//BC,ABC，PE面10分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，222．（ABCD,AD3AE,ABBC2AE2,PC3.（1）在线段PD上是否存在点CF//F，使面PAB，说明理由；（2）求二面角EPCD的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点A，，C不共线，则BABACBCABACBC0ABACACABACAB0AC2AB2“22ABAC”；故“ABACBC”是“ABAC”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.2、B【解析】对复数z进行化简计算，得到答案.【详解】42i1iz(i1)442i213ii11i2所以z的虚部为3故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3、B【解析】5求得x1ax的二项展开式的通项为Ckax,令k2时,可得x3项的系数为90,即C2a2=90,求得a,即可得出kk155结果.【详解】55若a3则x1ax=x13x二项展开式的通项为Ck3xk+1,令k13,即k2,则x3项的系数为k5C232=90,充分性成立;当x1ax5的展开式中x3项的系数为90,则有C2a2=90,从而a3,必要性不成立.55故选:B.【点睛】、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考的能力和计算能力,难度较易.本题考查二项式定理生的分析问题4、C【解析】模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p＝1，S＝1，输出S的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．5、C【解析】化简复数，分子分母同时乘以1i，进而求得复数z，再求出，由此得到虚部.z【详解】z1ii，zi，所以的虚部为1.z1i故选：C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.6、C【解析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】fxfx，函数是奇函数，排除D，x,fx0，排除，时，x0,fx0时，，B220,11，11x0,时，sin2x0,1e,e当x28828x0,fx0,1，排除A，时，2C符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.7、A【解析】根据acosBb3ccosA0，利用正弦定理边化为角得sinAcosBcosAsinB3sinCcosA0，整理为sinC13cosA0，根据，得cosA1sinC0，再由余弦定理得bc3，又a2bc2，代入公式223求解21cba222Sbc.()242【详解】由acosBb3ccosA0得sinAcosBcosAsinB3sinCcosA0，即sinAB3sinCcosA0sinC13cosA0，，即1因为sinC0，所以cosA，32bccosA2由余弦定理a2bcbc2，所以bc3，223131222421cba222由ABC的面积公式S(bc)2得42故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8、C【解析】a的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出nn3n2a3n2an利用的前项和求出数列naaaaaa的值.23342122【详解】a4a7a3n2a4n.123n当n1时，；a41当n2时，由a4a7a3n2a4n，123na4a7a3n5a4n1可得，123n143n2a43n2，两式相减，可得，故ann4a4a因为也适合上式，所以.3n21n161611aa依题意，n1n2，3n13n433n13n4aaaaaa115.161111111611故233477101013346446164342122故选：C.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.Sann9、C【解析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为1的圆、高为2的圆柱中2的棱2柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，12••1•2•2•222，即V22故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据求导得到f'(x)ex，根据切线方程得到balna，故aba2lna，设上1gea0，故xlna，fxab.00故aba(lna1)，故balna，aba2lna.设gxx2lnx，g'x2xlnxxx2lnx1g'x0，解得1，取.xe21121e2,10,ege.故函数在上单调递减，在上单调递增，故gx22emin故选：A.【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11、A【解析】令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.【详解】令，构造，求导得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，有三个不同的零点（其中），需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，，故，若，即，故不符合题意，舍去.故选A.又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②③【解析】由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【详解】3，1tan25tan35tan25°+tan35°3tan25°tan35°；31tan25tan353tan25°tan35°，3，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°3；1tan15tan45tan151tan151tan45tan45tan（45°+15°）＝tan60°3；③故答案为：①②③【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.14、30【解析】30，2如图所示，将三棱锥PABC补成长方体，球O为长方体的外接球，长、宽、高分别为a,b,c，计算得到R得到答案.【详解】如图所示，将三棱锥PABC补成长方体，球O为长方体的外接球，长、宽、高分别为a,b,c，ab25,22则30，2a2c215,，所以a2b2c230b2c220,R，所以球的半径O230.30则球O的表面积为S4R242故答案为：30.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥PABC补成长方体是解题的【解析】设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在，结合，可求出四【详解】，由cos60º＝，得，由勾股定理，得：，O到A、B、C三的1在，，解得．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题．216、2【解析】则由抛物线的定义可得PMPF，过点作PM垂直于准线，M为垂足，PPFPMPAPAPFsinPAM，PAM为锐角.故当PA和抛物线相切时，的值最小.PA则PF的最小值.PA再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得【详解】意可得，抛物线x4y的焦点，准线方程为y1，解：由题2F0,1则由抛物线的定义可得PMPF，过点作PM垂直于准线，M为垂足，PPFPMPAPAsinPAM，PAM为锐角.则PF故当PAM最小时，的值最小.PAP2a,a1yx，由y1x，2设切点2的导数为41则PA的斜率为22aaa1，2a求得a1，可得P2,1，PM2，PA22，PM2.sinPAMPA22故答案为：.2【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0,12（）12a7217、（1）【解析】fx表示为f(x)x2的解集.（1）将分段函数的形式，由此求得不等式gx的取值范围，根据fx分段函数fx的取值范围，解析式，求得结合题（2）利用绝对值三角不等式，求得3意列不等式|a2|，解不等式求得a的取值范围.2【详解】3x,x1（1）f(x)x2,1x1，23x,x1211xx1x1由f(x)x2得或或；223xx2x2x23xx2解得0x1.故所求解集为0,1.（2）g(x)|x2019||x2021a||(x2019)(x2021a)||a2|，即g(x)a2,.3x,x1由（f(x)x2,1x11）知，23x,x12f(x),.133f(x)f所以，即222min31a7∴|a2|，∴.222【点睛】本小题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式|a||b||ab||a||b|和函数最值问题，考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.18、（1）0.8186；（2）见解析.【解析】再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362，（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，79.5，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；1高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据2（2）根据题意，都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.【详解】35254515055200652507522585100955065，1000（1）由题意可得36652965214.52易知21014.5，，79.56514.5，P36Z79.5P2ZP2ZPZXPX22P0.95450.68270.8186；22（2）根据题意，可得出随机变量X的可能取值有20、40、60、80元，PX20，PX4011133131332482424432，X13323138P16321753401360380.322所以，随机变量X的数学期望为EX2083216【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.331）见解析（2）1119、（【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面⊥平面；ADEBDEF(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，CF放在三角形当中来求解.△+详解：（Ⅰ）在中，∠＝30°，由AO2＝ABBD2－2AB·BDcos30°，ABDABD2解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.，根据⊥平面，平面，∴⊥.DEABCDADABCDADDE＝，所以⊥平面，又平面，BDDEDADBDEFADABCD∴平面⊥平面，ADEBDEF（）Ⅱ方法一：如图，由已知可得ADB90，ABD30，则BDC30，则三角形BCD为锐角为30°的等.腰三角形CDCB1,则CG12.过点C做CH//DA，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则GCI=60°.的平面角，则--CG12，，则.231G为BD中点，BD3，GIBF，GI在直角梯形BDEF中，，23BFGI，则DE1BGGF16.8设DEx，则，SGFxBGF22tanFCGFGGC6，则sinFCG433CFABCD33，即与平面所成角的正弦值为．1111（Ⅱ）方法二：可知DADBDE、、两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.D设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.设平面的法向量为m＝(x，，yz)，BCF0.5x3y0mBC02则所以取x=，所(1-－)，以＝，，mmBF03yhz02取平面BDEF的法向量为n＝(1，，0)，0由cosm，nmmnncos606，则DE6，，解得h8822，设与平面所成角为，,则CFCFABCD又862233.则sin=881133故直线与平面所成角的正弦值为CFABCD11点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.271）见解析（2）720、（【解析】试题分析:（1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立;（2）通过已知条件求,求出平面PDB的法向量,建系如图所示,根据线面角公式代入坐标求得结果:（1）证明：取PD的中点N，连接，则出各边长度.1MN//CD,MNCD，2AN,MN试题解析又AB//CD,AB1CD，所以MN//AB,MNAB，则四边形为平行四边形，所以ABMNAN//BM，2又BM平面PCD，∴AN平面，PCD∴ANPD,ANCD.由EDEA即PDPA∴PDA600，PDPAD及N为的中点，可得为等边三角形，0，∴CDAD，又EDC1500，∴CDA90∴CD平面PAD,CD平面，ABCD∴平面PAD平面ABCD.（2）解：AB//CD，∴PCD为直线PC与AB所成的角，PD1CD2由（1）可得PDC900，∴tanPCD，∴CD2PD，设PD1，则CD2,PAADAB1，取AD的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则D1,0,0,B,1,0,C1,2,0,P0,0,13，2222∴M1,1,3，441333所以DB1,1,0,PB,1,,BM,0,，2244xy0n·DB0设nx,y,z{{，即为平面PBD的法向量，则，1xy3z02n·PB02取x3，则n3,3,3为平面PBD的一个法向量，3213227，7cosn,BMn·BMnBM∵则直线BM与平面PDB所成角的正弦值为27.7点睛:判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个