高数课件第一章第三节函数极限

1第三节函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、小结思考题2【数列极限】——

整标函数【函数的极限】有两大类情形3单击任意点开始观察一、自变量x→∞时,的极限1.【引例】单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察

观察完毕4通过上面演示实验的观察:【问题2】如何用数学语言刻划函数“无限接近”.是在x

∞

的过程中实现的即x→∞时,f(x)→0.2.【直观定义】在x→∞时，函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x→∞时的极限.53.【精确定义】①如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在着正数X

，使得当|x|>X

时，恒有|f(x)-A|<ε

成立，则称x

趋于无穷大时函数f(x)

以A为极限。记为：②【“ε-

X

”

定义】—分析定义③

x→+∞及x→-∞情形【定理】64.【几何意义】7【例1】【证】5.【水平渐近线】8二、自变量有限值时,函数的极限1.【引例】①

函数在处的极限为②函数在处的极限为③函数在处的极限为２２２yAx１２３x→x0时函数f(x)的极限是否存在,与f(x)在x0处是否有定义并无关系.结论9它是在的过程中实现的【问题】如何用数学语言刻划函数“无限接近”.2.【直观定义】103.【精确定义】②

“ε-δ”定义①设f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的e>0,

总存在

d

>0,使得当0<|x-x0

|<d,恒有|f(x)-A|<e成立，则称x→x0时函数f(x)以常数

A为极限，记为【注意】意味着（但不是函数关系，因δ不唯一）114.【几何意义】极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:12【例2】【证】【例3】【证】13【例4】【证】函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性14【例5】【证】155.【单侧极限】【例如】16①【左极限】②【右极限】【注意】17左右极限存在但不相等,【例6】【证】［课后习题第8题（自证）］③【极限存在定理】18三、函数极限的性质1.【唯一性】【注】以下仅以形式为代表给出函数极限的一些定理，其它形式类推之。【证明】（略）（自证）19【定理2】【证】有则定理2得证2.【局部有界性】203.【局部保号性】【证】有【证完】容易推得下面更强的结论：【定理3】21③【定理3*】【补证】有（1）由（1）式得22【推论】【证明】利用定理3反证之（略）.由（1）式得【证完】234.【子列收敛性】(函数极限与数列极限的关系)①【定义】②【定理4】24【分析】【证】25【例如】【证完】综合上述画线部分即得26函数极限与数列极限的关系（海因定理）函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.【说明】常用海因定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在③【推广】［方法一］：找两子列，求得对应的两函数值子列极限值不相等.或找一个子列，对应的函数值子列的极限值不存在.［方法二］：27【例7】（补）【证】28二者不相等,【补充练习】【解】验证不存在取和但由海因定理故原极限不存在令29四、小结【数列、函