人教B版（2023）必修第一册《第三章 函数》单元测试（word含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）设是区间上的单调函数，且，则方程在区间上

A.至少有一实根

B.至多有一实根

C.没有实根

D.必有唯一实根

2.（5分）设函数f（x）=lnx+e-x，g（x）=lnx-e-x的零点分别为x1，x2，则（）

A.x1x2≥2B.1＜x1x2＜2

C.0＜x1x2＜1D.x1x2=1

3.（5分）反映函数基本性质的图象大致为

A.B.

C.D.

4.（5分）已知定义在上的函数为偶函数．记，，，则，，的大小关系为

A.B.C.D.

5.（5分）定义一种运算，若，当有个不同的零点时，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

6.（5分）函数在区间的值域为，则的取值范围是

A.B.

C.D.

7.（5分）已知函数若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

8.（5分）已知是上是增函数，那么实数的取值范围是

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：

①在内单调递增或单调递减；

②存在区间，使在上的值域为，那么把称为闭函数．

下列结论正确的是

A.函数是闭函数

B.函数是闭函数

C.函数是闭函数

D.函数是闭函数

10.（5分）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是

A.B.

C.D.

11.（5分）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中错误的是

A.是偶函数

B.是奇函数

C.是奇函数

D.是奇函数

12.（5分）已知函数，若函数存在零点，则的取值可能为

A.B.C.D.

13.（5分）函数的零点所在的区间可能是

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若函数在上为增函数，则实数的取值范围是__________.

15.（5分）设函数，已知对任意的，若且，恒有，则的最小值是______．

16.（5分）已知函数与的图象所有交点的横坐标为，，，，则______．

17.（5分）已知、，为平面直角坐标系原点，满足：，，，则______，的最大值为______.

18.（5分）设函数，则______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）若，设其定义域上的区间．

判断该函数的奇偶性，并证明；

当时，判断函数在区间上的单调性，并证明；

当时，若存在区间，使函数在该区间上的值域为，求实数的取值范围．

20.（12分）对于定义域为的函数，若有常数，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称为函数的“均值”．

判断是否为函数的“均值”，请说明理由；

若函数为常数存在“均值”，求实数的取值范围；

若函数是单调函数，且其值域为区间试探究函数的“均值”情况是否存在、个数、大小等与区间之间的关系，写出你的结论不必证明．

21.（12分）已知关于的方程，试解，

当是方程的一个解时，求实数的值；

当方程只有一解时，求实数的值．

22.（12分）如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．

若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由；

已知函数，其中且，，

当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；

证明：当，时，函数不存在等域区间．

23.（12分）已知函数．

求定义域，并判断函数的奇偶性；

若，证明函数在上的单调性，并求函数在区间上的最值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：函数在区间上单调，且，所以在区间上的图象与轴有唯一的交点，所以函数在区间上有唯一的零点，方程在区间上必有唯一的实根．

故选：

直接利用函数的零点判定定理说明结果即可．

此题主要考查函．数的零点判定定理的应用，是基础题

2.【答案】C;

【解析】解：由题意，f（

1

e

）＜0，f（1）＞0，

∴

1

e

＜＜1，g（1）＜0，g（e）＞0，∴1＜＜e，

∴

1

e

＜＜e，且ln=ln+ln=-e-x1+e-x2＜0，

∴0＜＜1．

故选C．

3.【答案】A;

【解析】解：函数，则是偶函数，排除

且在上是增函数，排除、，

故选：．

判断函数的奇偶性，利用当时的单调性进行排除即可．

此题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及单调性使用排除法是解决本题的关键．

4.【答案】B;

【解析】解：函数为偶函数，，，，．

记，，，

则，，的大小关系为：，

故选：．

根据，求得，可得的解析式．再计算，，的值，可得结论．

这道题主要考查函数的奇偶性的应用，求函数的值，属于基础题．

5.【答案】B;

【解析】

此题主要考查函数零点与方程根的关系及函数图象的应用，同时考查分段函数，，将问题转化为于的图象与的图象有个不同的交点，然后利用定义，画出函数图象，数形结合求解即可.

解：函数有个不同的零点等价于的图象与的图象有个不同的交点，

根据运算，画出与的图象如图，

结合图象可知，的图象与的图象有个不同的交点实数的取值范围是，

所以有个零点时，实数的取值范围是

故选

6.【答案】C;

【解析】解：由题意函数在区间的值域为，

可得：或，定义域范围一定包括．

当时，那么的范围是，

此时，可得最小值为．

当时，那么的范围是，

此时，可得最大值为．

故选：．

根据指数函数的性质可得值域为，那么：或，一定取得到分情况讨论可得，的值，即可求解的取值范围

该题考查指数函数的值域的应用，情况讨论思想，属于中档题．

7.【答案】C;

【解析】

此题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性.

构造函数，即，首先利用函数的奇偶性的定义，可判断函数为奇函数，再利用单调性的判定，可知函数为增函数，化简，即，可得，再利用对勾函数的性质，即可求解.

解：因为函数，设，

所以，的定义域为，

所以，所以为奇函数，

令，

则，

，

因为，

所以，所以函数在单调递增，

又因为为奇函数，且，

所以在上单调递增，

若存在使得不等式成立，

则，即，

所以，所以，

所以，即，

设，，

由对勾函数的性质知时，函数单调递减，时，单调递增，

所以或，

所以

故选

8.【答案】C;

【解析】解：由为上的增函数，可得

，

，

且，即为

由可得．

故选：．

由增函数的定义，可得，，且，即为，解不等式求交集即可得到所求范围．

该题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，注意分界点的函数值，属于中档题和易错题．

9.【答案】BD;

【解析】

此题主要考查了新定义问题，考查函数的单调性和值域问题，属于中档题．

利用新定义逐项验证是否为闭函数.

解：在定义域上不是单调函数，则该函数不是闭函数；

由题意，在上递减，则设存在时的值域也是，

则有，所以存在这样的区间为，故该函数为闭函数；

，在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．

上是单调递增函数，设存在时的值域也是，

则有，故是闭函数.

故选

10.【答案】AB;

【解析】

此题主要考查函数单调性定义的应用，属于基础题.

根据函数的单调性逐一判断即可.

解：函数在区间上是增函数，

对于任意的，

则与同号，所以与正确；

因为，大小关系不确定，

所以及不一定成立，

因此，不正确.

故选

11.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查函数的奇偶性，难度一般．

根据奇函数和偶函数的定义分别判断即可.

解：因为是奇函数，是偶函数，

所以，，

A.，因此是奇函数，错

B.，因此是偶函数，错

C.，因此是奇函数，对

D.，因此是偶函数，错.

故选

12.【答案】CD;

【解析】解：根据题意，函数，

若函数存在零点，即有解，

必有当时，，即为函数的唯一零点，

必有，，是的可能取值，

故选：．

根据题意，由函数零点的定义可得有解，必有当时，，即为函数的唯一零点，分析可得，

该题考查分段函数的性质以及函数的零点，注意函数零点的定义，属于基础题．

13.【答案】AD;

【解析】解：函数，函数是连续函数，

由于，，，

，，，

所以零点在区间，内．

故选：

利用函数的解析式，求解函数值，结合零点判断定理，判断选项即可．

此题主要考查零点判断定理的应用，是基本知识的考查，基础题．

14.【答案】且;

【解析】由单调性可作图：

由图知，且

15.【答案】24;

【解析】解：当，可得，，

同样可得时，，且，

可得为偶函数，

画出的图象，可得在递增，

由，可得，即有，

即，即，

由且，，

可得，即，可得恒成立，

可得，即有，

由任意的，可得，

则的最小值为．

故答案为：．

根据奇偶性的定义可判断为偶函数，画出的图象，可得在递增，由，可得，结合条件可得所求最小值．

此题主要考查分段函数的单调性和奇偶性的判断和运用，考查转化思想和推理能力与计算能力，属于难题．

16.【答案】7;

【解析】解：，，

在同一平面直角坐标系内作出两函数的图象如图：

两函数的图象关于点中心对称，且有个交点，

则．

故答案为：．

由题意画出两函数的图象，数形结合得答案．

该题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

17.【答案】;略;

【解析】解：、，由题意，知、位于单位圆上，

，

则、分别表示、到直线：的距离、，

于是，，

分别取、靠近、的三等分点为、，

联结，过点作的垂线，交、于、，

则，

在中，由余弦定理可得，，

，

容易知道到直线的距离，

，

从而

故填：；

由题意得到，位于单位圆上的，画出图像由，可以推出；把转换为，到直线的距离及距离的倍，

结合余弦定理，可求出最大值为

此题主要考查了余弦定理，平面向量数量积的应用，属于较难题．

18.【答案】;

【解析】

该题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．

根据题意，由函数的解析式可得，又由解析式求出的值，即可得答案．

解：根据题意，函数，

当时，有，

当时，，

则．

故答案为．

19.【答案】解：（1）因为，

由解得x＞3或x＜-3，即f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．

又，

∴f（x）为奇函数．

（2）f（x）在[α，β]（β＞α＞0）为增函数，

证明如下：∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]（3，+∞）．

设，∈[α，β]，＜，＞3，＞3，

则，

∵（-3）（+3）-（+3）（-3）=6（-）＜0，

∴（-3）（+3）＜（+3）（-3），即，

因为m＞1，所以，即f（）＜f（），

所以f（x）在[α，β]（β＞α＞0）为增函数，

（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为减函数，

∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[lom（β-1），lom（α-1）]，

则有，

∴，

∴α，β是方程在（3，+∞）上的两个相异的根，

∴m（x-1）（x+3）=x-3，即m+（2m-1）x+3-3m=0，

即m+（2m-1）x+3-3m=0在（3，+∞）上的两个相异的根，

令h（x）=m+（2m-1）x+3-3m，则h（x）在（3，+∞）有2个零点，

∴，解得，

即当时，，

当时，方程组无解，即[α，β]（β＞α＞0），不存在．;

【解析】

首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；

利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

由得，当时，在为减函数，故若存在定义域，使值域为，则有，从而问题可转化为，是方程的两个解，进而问题得解．

这道题主要考查函数奇偶性的证明以及函数单调性和值域的关系，结合对数函数的性质转化为一元二次方程，利用根的分布是解决本题的关键，考查学生的转化能力，属于难题．

20.【答案】解：对任意的，有，

当且仅当时，有，

故存在唯一，满足，

所以是函数的“均值”．

当时，存在“均值”，且“均值”为；

当时，由存在均值，可知对任意的，

都有唯一的与之对应，从而有单调，

故有或，

解得或或，

综上，的取值范围是或．

当或时，函数存在唯一的“均值”．

这时函数的“均值”为；

当为时，函数存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数的“均值”；

当或或或或或时，

函数不存在“均值”．

故答案为：

当且仅当形如、其中之一时，函数存在唯一的“均值”．

这时函数的“均值”为；

当且仅当为时，函数存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数的“均值”；

当且仅当形如、、、、、其中之一时，

函数不存在“均值”．;

【解析】

根据均值的定义，要判断是函数的“均值”，即要验证；

函数为常数存在“均值”，当时，存在“均值”，且“均值”为；当时，由存在均值，可知对任意的，都有唯一的与之对应，从而有单调，从而求得实数的取值范围；

根据，的结论对于当或时，函数存在唯一的“均值”；当为时，函数存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数不存在均值．

此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

21.【答案】解：（1）若x=-1是方程的一个解，则1-la-（1-lga）+2=0，即la-lga-2=0，

解得lga=2或lga=-1，

∴a=100或，经检验均符合题意，

∴实数a的值为100或；

（2）若方程只有一解，则△=（1-lga）2-8（1-la）=0，即9la-2lga-7=0，

解得lga=1或，

∴a=10或，

又当a=10时，原方程为2=0不合题意，故．;

【解析】

将代入，可得，解该方程即可求得实数的值；

依题意，，解该方程即可求得实数的值．

此题主要考查方程解的求法及对数运算，考查运算求解能力，属于基础题．

22.【答案】解：（1）函数f（x）=+2x存在等域区间，如[-1，0]；

（2）（Ⅰ）当a=p时，f（x）=+b，

若函数f（x）是[0，1]上的等域函数，

当a＞1时，f（x）为增函数，

则，

所以，

此时f（x）=2x1；

当0＜a＜1时，f（x）为减