【高效备课】人教版八(上) 11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和 课件

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11.3多边形及其内角和

11.3.2多边形的内角和

R·八年级上册

学习目标：

1．探索多边形的内角和公式.

2．通过把多边形转化成三角形，体会转化思

想在几何中的运用.

新课导入

回忆长方形、正方形的内角和等于______.

360°

思考任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？

推进新课

多边形的内角和

探究你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？

证明：连接AC，

∠BAD+∠B+∠BCD+∠D

=（∠BAC+∠BCA+∠B）

+（∠DAC+∠DCA+∠D），

=180°+180°=360°．

知识点1

从四边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将四边形分为个三角形，四边形的内角和等于180°×____=°．

1

2

2

360

探究你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？

探究类比前面的过程，你能探索五边形的内角和吗？六边形呢？

如图，从五边形的一个顶点

出发，可以作条对角线，它

们将五边形分为____个三角形，

五边形的内角和等于

180°×=°．

2

3

3

540

如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×____=_______°．

3

4

4

720

形状图形从多边形的一个顶点引出的对角线条数分割出三角形的个数多边形内角和

三角形

四边形

五边形

六边形

……

n边形

······

0

3-3=

4-3=

5-3=

6-3=

n-3

1

2

3

······

3-2=

1

4-2=

2

5-2=

3

6-2=

4

n-2

（n-2）·180

180

360

540

720

······

······

从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的内角和就是n边形的内角和，所以，n边形的内角和等于（n-2）×180°．

归纳总结

通过上述过程，你能说说多边形的内角和与边数的关系吗？

填空：

（1）十边形的内角和为度．

（2）已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为______．

1440

8

练习

解：如图，四边形ABCD中，

∠A+∠C=180°．

∵∠A+∠B+∠C+∠D

=（4-2）×180°=360°，

∴∠B+∠D=360°–（∠A+∠C）

=360°–180°=180°．

例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.

四边形、五边形、六边形的外角和

知识点2

问题1我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多种方法．如图，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？

A

B

C

D

E

F

1

2

3

由∠1+∠BAE=180°，∠2+∠CBF=180°，

∠3+∠ACD=180°，

得∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°．

由∠1+∠2+∠3=180°，得

∠BAE+∠CBF+∠ACD

=540°-180°

=360°．

A

B

C

D

E

F

1

2

3

由∠BAD+∠1=180°，

∠ABC+∠2=180°，

∠BCD+∠3=180°，

∠ADC+∠4=180°，

得∠BAD+∠1+∠ABC

+∠2+∠BCD+∠3+∠ADC+∠4=180°×4．

由∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×2，得

∠1+∠2+∠3+∠4=180°×4-180°×2=360°．

问题2如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？

A

B

C

1

2

3

D

4

问题3五边形的外角和等于多少度？六边形呢？仿照上面的方法试一试．

6×180°-（6-2）×180°=2×180°=360°

类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360°，六边形的外角和是360°．

问题4你能仿照上面的方法求n边形（n是不小于3的任意整数）的外角和吗？

因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，所以，n边形的外角和为：

n·180°-（n-2）·180°=360°．

任意多边形的外角和等于360°．

n边形的外角和

知识点3

我们也可以在问题4的基础上这样理解多边形外角和等于360°．

如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．

A

在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．

我们也可以在问题4的基础上这样理解多边形外角和等于360°．

A

巩固多边形外角和公式

解：设这个多边形为n边形，

根据题意，可列方程

（n-2）×180°=3×360°．

解得n=8．

答：它是八边形．

一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

x=65

练习1求出下列图形中x的值。

x=60

x=95

【课本P24练习第1题】

解法一：设它是n边形，则依题意得

(n－2)×180°＝n×l20°

∴n＝6.

练习2一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？

【课本P24练习第2题】

练习2一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？

【课本P24练习第2题】

解法二：各内角都等于120°，则各外角为60°，

设它是n边形，

则有n×60°＝360°(多边形的外角和等于360°)

∴n=6.

解：设它是n边形.

∵多边形的外角和为360°，且内角和与外角和相等，∴(n-2)×180°＝360°

∴n=4.

练习3一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？

【课本P24练习第3题】

解：不存在．

理由：如果存在这样的多边形，设它的一个外角为x，则对应的内角为180°-x，

于是x=180°-x，解得x=150°.

练习4是否存在一个多边形，它的每个内角

都等于相邻外角的？为什么？

这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．

随堂演练

1.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（）

A.600°B.720°C.900°D.1080°

2.若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数（）

A.增加B.减少C.不变D.不能确定

A

C

基础巩固

3.已知，在四边形ABCD中，∠A:∠B＝5:7，∠B与∠A的差等于∠C，∠D与∠C的差是80度，求四边形ABCD四个内角的度数.

解：设∠A=5x°，∠D=y°，则∠B=7x°，∠C=2x°，由题意可得

解得

所以∠A=87.5°，∠B=122.5°，∠C=35°，∠D=115°.

综合应用

4.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米，后左转30度，再沿直线前进10米.又向左转30度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？

拓展延伸

解：由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30°，边长为10米.所以这个多边形的边