四年级数学奥数培优讲义-专题10平面图形的切割与拼接（含解析）

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图形的拼切就是把一个图形分成若干块，然后再讲成一个规则的图形。拼切前后的图形面积大小不变。利用图形的对称性进行拼切是一种常用的方法，还要学会选择分割的方法和技巧。

1．用一张长方形纸剪同样的三角形（如下图），最多能剪多少个这样的三角形？

2．一个三角形的底是12分米，高是8分米，用两个这样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的面积是多少平方分米？

3．一块装饰玻璃形状如下图所示，这块玻璃的面积是多少平方分米？

4．王村有一个宽20米的长方形鱼塘。因修路，鱼塘的宽减少了6米，这样鱼塘的面积就减少了180平方米。现在鱼塘的面积是多少平方米？（先画出减少的部分，再解答）

5．长方形纸长24厘米、宽14厘米，先剪下一个最大的正方形，再从剩下的长方形中剪下一个最大的正方形。最后剩下的小长方形的面积是多少？

6．欣欣和乐乐想用一张长8分米、宽5.5分米的长方形纸剪边长是2分米的正方形。乐乐说：“我最多能剪出11个正方形”，欣欣说：“不可能，你吹牛”。你认为乐乐是在吹牛吗？请你用画示意图的方式说明你的想法。

7．在一张长30厘米、宽18厘米的长方形纸的一端剪掉一个最大的正方形，在剩下的长方形纸的一端再剪掉一个最大的正方形．最后剩下部分是什么图形？它的面积是多少平方厘米？

8．一块正方形的玻璃边长8分米，在它一角切下一个长4分米、宽3分米的长方形，这块玻璃剩下部分的周长多少分米？（先画图，再计算）

9．李阿姨在一块长为80分米，宽为50分米的长方形花布上剪下一块最大的正方形花布，这块正方形花布的周长是多少分米？剩下的花布的周长是多少分米？

10．一张长方形桌布长120厘米、宽90厘米。这张桌布有了一个洞，为了不浪费，小明想剪下一块最大的正方形桌布。剪下的这块正方形桌布的面积是多少平方厘米？

11．在下图的长方形中，截取一个最大的正方形，剩下的小长方形的周长是多少厘米？

12．一块长方形花圃，如果把它的长减少4米，面积就减少64平方米；如果把它的宽增加4米，面积就增加80平方米。原来这块花圃的面积是多少平方米？在图中画一画，再解答。

13．图中的正方形被分成了4个相同的长方形，正方形的周长80米，每个长方形的周长是多少？

14．从一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸中，剪去一个最大的正方形。剩下部分的面积是多少平方厘米？合多少平方分米？

15．李阿姨家有一块长方形菜地，如下图所示。她计划在这块菜地里划一个最大的正方形区域种植小白菜。小白菜种植区的周长是多少？

16．用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。已知每个三角形的面积是46平方厘米，拼成的平行四边形的面积是多少平方厘米？

17．李小林要从下边的长方形纸上剪下一个最大的正方形．剩余部分是什么图形？它的面积是多少平方厘米？

18．一张长方形纸，长20厘米、宽12厘米。将这张纸裁剪成长4厘米、宽3厘米的小长方形，最多可以剪几个？

19．（1）兰兰做手工，需要从下面这张长方形彩纸中剪下一个最大的正方形，剪出的正方形面积是多少？

（2）剩下的纸还能剪出几个面积是1平方厘米的小正方形？你是怎么想的可以用列式、文字或者画图等方法进行说明。

20．一张长方形纸片，长30厘米，宽20厘米，剪下一个最大的正方形，剩下图形的周长是多少厘米？

21．科技活动小组要把两张相同的桌子拼在一起，每张桌子的长是24分米，宽是12分米，两张桌子拼在一起，周长是多少分米？（提示：有两种拼法）

22．把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长的和减少10厘米。原来一个正方形的周长是多少？

23．如图：梯形的上底2厘米，下底3厘米，高1.5厘米。

（1）计算梯形的面积。

（2）在梯形中剪下一个面积最大的平行四边形，用虚线标出剪的痕迹，并求出剪下的平行四边形的面积。

24．小丽在方格纸上画了一个直角梯形（如下图）。

（1）这个直角梯形的上底是（）厘米，下底是（）厘米，高是（）厘米。

（2）用两个这样的直角梯形拼成一个平行四边形，把拼成的平行四边形画在上面的方格纸上。

25．用一个周长是24厘米的正方形和下图中的一个长方形拼成一个新的长方形。

①选择（）号比较合适。

②将拼组后的新长方形画在下面方格纸上。

26．一张等腰梯形的纸，在这张纸上剪下一个最大的平行四边形应该怎样剪？请你在图上画一画。剩下部分的面积是多少呢？

27．（1）用一个周长是20厘米的正方形和三个长方形（图①、图②、图③）中的一个拼成一个新的长方形，选择（）号长方形比较合适。

（2）将拼组后的新长方形画在方格纸中（每个方格边长是1厘米）。

（3）将这个长方形的涂上阴影。

（4）这个新长方形的周长是（）厘米。

28．有两个长方形，长都是8厘米，宽都是4厘米，他们可以拼成一个长方形或是一个正方形，拼成的长方形和正方形的周长各是多少？

29．一张长方形纸长17厘米，宽12厘米，把它剪成两条直角边分别为3厘米、4厘米的直角三角形小旗，最多可以剪多少面？

30．在一张长25厘米，宽20厘米的长方形纸上剪一个最大的正方形。剩下的纸的周长是多少厘米？（画出图形）

31．一张长方形纸，长20厘米宽15厘米．从这张纸上剪下一个最大的正方形。正方形的周长是多少厘米？剩下的图形的周长是多少厘米？

1．24个

【分析】剪的两个三角形可以组成一个长是10厘米，宽是4厘米的长方形，求出在长50厘米的边上，能剪几个4厘米宽的长方形，就能求出最多能剪几个这样的三角形；据此解答。

【详解】50÷4＝12（个）……2（厘米）

12×2＝24（个）

答：最多能剪24个这样的三角形。

【分析】解答本题的关键明确不能用长方形面积直接除以三角形面积；求出剪长方形的个数需要乘2。

2．96平方分米

【分析】根据题意可知，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，即可解答。

【详解】12×8＝96（平方分米）

答：这个平行四边形的面积是96平方分米。

【分析】本题考查平行四边形面积公式的应用，关键明确拼成平行四边形的底和高与三角形的底和高的关系。

3．22平方分米

【分析】如图所示，把图形分割为一个长方形和一个三角形，这块玻璃的面积＝长方形的面积＋三角形的面积，据此解答。

【详解】

5×4＋（7－5）×（4－2）÷2

＝20＋2×2÷2

＝20＋2

＝22（平方分米）

答：这块玻璃的面积是22平方分米。

【分析】掌握组合图形面积的计算方法是解答题目的关键。

4．

420平方米

【分析】根据题意可知，鱼塘宽减少了6米，这样鱼塘的面积就减少了180平方米，说明鱼塘的长不变，由此可以求出鱼塘的长，180÷6＝30米，用长乘现在的宽即可求出现在的面积。

【详解】

180÷6×（20－6）

＝30×14

＝420（平方米）

答：现在鱼塘的面积是420平方米。

【分析】此题主要考查长方形的面积计算，首先根据减少的面积和减少的宽求出鱼塘的长，再根据长方形的面积公式解答。

5．40平方厘米

【分析】根据题意可知：第一次所剪最大正方形的边长等于长方形的宽（14厘米），剩下长方形的长是14厘米，宽是（24－14）厘米，第二次剪的最大正方形的边长是（24－14）厘米，根据长方形的面积公式：S＝ab，正方形的面积公式：S＝a2，把数据分别代入公式求出长方形的面积与两个正方形的面积差即可。

【详解】24－14＝10（厘米）

24×14－14×14－10×10

＝336－196－100

＝140－100

＝40（平方厘米）

答：最后剩下的小长方形的面积是40平方厘米。

【分析】此题主要考查长方形、正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

6．乐乐是吹牛；图见详解

【分析】先计算沿着长和宽各能剪几个，用长方形的长、宽分别除以2所得的商取整数，再根据乘法的意义，把它们相乘即可。

【详解】由分析可知：

8÷2＝4（个）

5.5÷2＝2.75（个）

4×2＝8（个）

答：乐乐在吹牛，最多能剪8个正方形，剪法如上图。

【分析】本题重点考查长方形切割问题的应用，商采用去尾法。

7．剩下的是一个长方形，面积是72平方厘米

【详解】试题分析：观察图形可知，两次剪掉长方形内最大的正方形后，剩下的是一个长方形，长是30﹣18=12厘米，宽是18﹣12=6厘米，据此利用长方形的面积公式即可解答．

解：根据题干分析可得：剩下的是一个小长方形，面积是：

（30﹣18）×（18﹣12），

=12×6，

=72（平方厘米），

答：剩下的是一个长方形，面积是72平方厘米．

分析：根据切割方法，明确剩下的长方形的长与宽的值，是解决本题的关键．

8．画图见详解；32分米

【分析】当切下一个长4分米、宽3分米的长方形后，经过平移后，剩下部分的周长还是等于原来正方形的周长。

【详解】

8×4＝32（分米）

答：这块玻璃剩下部分的周长32分米。

【分析】学生应熟练掌握用平移的方法把不规则的图形转化成规则图形，再求周长。

9．正方形花布的周长：200分米；剩下的花布的周长：160分米

【分析】当正方形的边长为50分米时，此时剪下的是一块最大的正方形花布；用50乘4，求出这块正方形花布的周长是多少分米；用80减去50，求出剩下的花布的宽，剩下的花布的长是50分米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入相关数据即可解答。

【详解】50×4＝200（分米）

（50＋80－50）×2

＝80×2

＝160（分米）

答：这块正方形花布的周长是200分米，剩下的花布的周长是160分米。

【分析】本题考查了长方形的周长公式和正方形的周长公式，应熟练掌握并灵活运用。

10．8100平方厘米

【分析】根据题意可知，剪下的这块正方形桌布的边长是90厘米，根据正方形面积计算公式即可求出正方形桌布的面积。

【详解】根据分析可知，剪下的这块正方形桌布的边长是90厘米，可得：

90×90＝8100（平方厘米）

答：剪下的这块正方形桌布的面积是8100平方厘米。

【分析】要明确，在一个长方形里剪一个最大的正方形，这个正方形的边长等于长方形宽边的长度，是解答此题的关键。

11．20厘米

【分析】在长方形中截取最大的正方形，正方形的边长是长方形的宽，即要从长10厘米中截取6厘米，剩下的线段长度是（10－6＝4）厘米，求剩下小长方形的周长，已知长是6厘米，宽是4厘米，代入公式（长＋宽）×2，即可解答。

【详解】10－6＝4（厘米）

（6＋4）×2

＝10×2

＝20（厘米）

答：剩下的小长方形的周长是20厘米。

【分析】本题考查长方形周长的应用，掌握在长方形中截取最大的正方形，正方形的边长是长方形的宽和长方形的周长公式，是解题的关键。

12．320平方米

【分析】长减少4米，宽不变，面积减少64平方米，根据长方形的宽＝面积÷长，求出原来花圃的宽。宽增加4米，长不变，面积增加80平方米，根据长方形的长＝面积÷宽，求出原来花圃的长。根据长方形的面积＝长×宽，求出原来花圃的面积。

【详解】

64÷4＝16（米）

80÷4＝20（米）

20×16＝320（平方米）

答：原来这块花圃的面积是320平方米。

【分析】本题考查长方形面积公式的灵活应用，关键是求出原来花圃的长与宽。

13．每个长方形的周长是50厘米

【详解】试题分析：根据正方形的特征，正方形的4条边的长度都相等，把一个正方形平均分成两个小长方形，每个长方形的长等于正方形的边长，每个长方形的宽等于正方形的边长的，再根据长方形的周长公式，计算出每个长方形的周长即可．

解：根据题干分析可得：正方形的边长为80÷4=20（厘米），

把正方形平均分成四个小长方形，每个长方形的长也是20厘米，

每个长方形的宽是×20=5（厘米）；

则每个长方形的周长为：（20+5）×2=50（厘米）；

答：每个长方形的周长是50厘米；

分析：此题主要考查正方形和长方形的周长的计算方法，直接利用正方形和长方形的周长公式解答即可．

14．200平方厘米；2平方分米

【分析】要剪去一个最大的正方形，那么所剪的正方形的边长必须是20厘米，则剩下的图形是一个长为20厘米，宽为30－20＝10（厘米）的长方形；根据长方形的面积＝长×宽，把长和宽分别代入，即可求出剩下部分的面积，最后再进行面积单位转换即可。

【详解】20×（30－20）

＝20×10

＝200（平方厘米）

200平方厘米＝2平方分米

答：剩下部分的面积是200平方厘米；合2平方分米。

【分析】解答此题的关键是根据题意，知道如何剪一个最大的正方形，得出剩下的图形是长方形，进而再根据长方形的面积公式即可求出剩下部分的面积。

15．72米

【分析】根据题意可知，在这块长方形菜地里划一个最大的正方形区域，这个正方形的边长等于长方形的宽，是18米，根据正方形的周长＝边长×4，把数据代入公式解答。

【详解】18×4＝72（米）

答：小白菜种植区的周长是72米。

【分析】此题主要考查正方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。

16．92平方厘米

【分析】用两个完全一样的三角形平成一个平行四边形，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，直接用三角形的面积×2即可。

【详解】46×2＝92（平方厘米）

答：拼成的平行四边形的面积是92平方厘米。

【分析】此题考查了平行四边形与三角形面积之间的关系，也是三角形面积公式推导的依据。

17．长方形；24平方厘米

【详解】略

18．20个

【分析】长边可以分成20÷4＝5个，宽边可以分成12÷3＝4个，所以一共可以分成5×4＝20个，据此即可解答问题。

【详解】（20÷4）×（12÷3）

＝5×4

＝20（个）

答：最多可以剪20个。

【分析】在裁剪的过程中，先观察大长方形与小长方形的关系，明确以长与宽分别可以剪出的小长方形的个数；然后相乘即可。

19．（1）225平方厘米；（2）30个；说明见解析

【分析】（1）在这张长方形彩纸上剪一个最大的正方形，这个正方形的边长等于长方形的宽，根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式解答。

（2）剩下部分是一个长15厘米，宽是（17－15）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出剩下纸的面积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。

【详解】（1）15×15＝225（平方厘米）

答：剪出的正方形面积是225平方厘米。

（2）15×（17－15）÷1

＝15×2÷1

＝30÷1

＝30（个）

答：剩下的纸还能剪出30个面积是1平方厘米的小正方形。

【分析】此题主要考查正方形、长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

20．60厘米

【分析】根据题意可知，在这张长方形纸上剪一个最大的正方形，剪下的正方形的边长等于长方形的宽，剩下的图形是长20厘米，宽（30－20）厘米的长方形，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式解答。

【详解】30－20＝10（厘米）

（20＋10）×2

＝30×2

＝60（厘米）

答：剩下图形的周长是60厘米。

【分析】此题主要考查长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。

21．120分米；96分米

【分析】拼法一：两张桌子的宽边拼在一起，此时新长方形的长是（24＋24）分米，宽是12分米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据即可解答；拼法二：两张桌子的长边拼在一起，此时是一个正方形，边长是24分米，正方形的周长＝边长×4，代入数据即可解答。

【详解】拼法一：（24＋24＋12）×2

＝（48＋12）×2

＝60×2

＝120（分米）

拼法二：24×4＝96（分米）

答：周长是120分米或者96分米。

【分析】本题主要考查了长方形的周长公式，明确有两种拼法是解答此题的关键。

22．20厘米

【分析】减少的10厘米是正方形的2条边长，求出正方形的边长是10÷2＝5（厘米），再求出周长。

【详解】正方形的边长：10÷2＝5（厘米）

正方形的周长：5×4＝20（厘米）

答：原来一个正方形的周长是20厘米。

【分析】准确理解“减少的周长是两个正方形的边长”是解答此题的关键。

23．（1）3.75平方厘米；

（2）图见详解，3平方厘米

【分析】（1）根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入即可求解；

（2）沿着梯形的下底一端截取与上底相同长度的线段，并与上底的顶点连接，得到一个最大的平行四边形，平行四边形的底为2厘米，高为1.5厘米，平行四边形面积＝底×高，把数据代入公式即可求解。

【详解】（1）（2＋3）×1.5÷2

＝5×1.5÷2

＝7.5÷2

＝3.75（平方厘米）

答：梯形的面积为3.75平方厘米。

（2）如图剪开即可：

2×1.5＝3（平方厘米）

答：剪下的平行四边形的面积为3平方厘米。

【分析】此题考查了平面图形的切拼以及面积计算，明确梯形中剪去最大的平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底是解题关键。

24．（1）2；4；3；

（2）见详解

【分析】（1）一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，据此观察图形可知，这个直角梯形的上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米。

（2）对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此把两个直角梯形有直角的两条腰拼在一起即可，如下图。

【详解】（1）观察发现可知，

这个直角梯形的上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米。

（2）如图：

（拼法不唯一）

【分析】正确理解平行四边形、直角梯形的定义与特征，是解答此题的关键。

25．①②

②见详解

【分析】①周长是24厘米的正方形的边长是24÷4＝6厘米，所以要把这个正方形与已知的长方形组成一个新的长方形，则应该选择与正方形的边长6厘米相等边长的一个长方形进行拼组，据此即可解答；

②拼组后的长方形的长是6厘米，宽是6＋1＝7厘米，据此即可画图。

【详解】①24÷4＝6（厘米）

所以正方形的边长是6厘米，所以这个正方形和图中的一个长方形拼成一个新的长方形，选择②号比较合适。

②6＋1＝7（厘米）

据此画出拼组后的新长方形如下：

【分析】解答此题的关键是：先依据正方形的周长确定出其边长的值，进而确定与哪个图形可以拼成一个新的长方形，由此完成作图。

26．图见详解；30平方厘米

【分析】平行四边形两组对边平行且相等，所以做画的最大平行四边形底与梯形的上底相等，斜边与梯形的腰相等，高等于梯形的高，由此画出图形；再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，代入数据求出梯形、平行四边形的面积，求差即可求出剩下的面积。

【详解】画图如下：

（10＋15）×12÷2－10×12

＝25×12÷2－120

＝150－120

＝30（平方厘米）

答：剩下部分的面积是30平方厘米。

【分析】本题考查梯形、平行四边形的面积公式，牢记公式是解题的关键。

27．（1）②

（2）（3）见详解（第2、3小题作图答案不唯一）

（4）22

【分析】（1）先计算出正方形的边长＝正方形的周长÷4；再观察图①、图②、图③哪个的长或宽等于正方形边长；

（2）根据第（1）小问