2023届高考数学二轮复习专项突破05函数解析式

函数解析式专项突破高考定位函数的表示有三种图像法、列表法、解析法，在高考中每年都会考察，解析式的考察一直是高考的重点，既有常规的求解析式求法融合在函数综合题中，也有新高考中的新形式，比如给图写式，给性质写式等，考察学生的多维的思维能力，对函数的整体把握。考点解析（1）换元法求解析式（2）方程组求解析式（3）利用对称性周期性求解析式（4）给图辨析解析式（5）开放试题中的解析式（6）目标量（式）的函数解析式化分项突破类型一、换元法求解析式例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用凑配法求得解析式.【详解】，且，所以.故选：B.练.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”,则下列对应法则f满足函数定义的有（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对于A.令,符合函数定义；对于B,令,设,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义；对于C,设当则x可以取包括等无数多的值,不符合函数定义；对于D.令,符合函数定义．故选AD练（2022秋•渝中区校级月考）对任意x∈R，存在函数f（x）满足（）A．f（cosx）＝sin2x B．f（sin2x）＝sinx C．f（sinx）＝sin2x D．f（sinx）＝cos2x【分析】根据函数定义，每个自变量只能对应唯一一个函数值．对于A、B、C可采用取特殊值来排除，对于D选项可利用换元法来求函数的解析式即可判断．【解答】解：对于A，取x=π4，则cosx=22；sin2x＝1，∴f（若取x=-π4，则cosx=22；sin2x＝﹣1，∴f则f（22）＝1又f（22）＝﹣与函数的定义，“每个自变量x只能对应唯一一个函数值y”矛盾，故A错误；同理，对于B，取2x=π3，则sin2x=32；sinx=12，∴若取2x=2π3，则sin2x=32；sinx=32，故B错误；同理，对于C，取x=π3，则sinx=32；sin2x=32，∴若取x=2π3，则sinx=32；sin2x=-32故C错误；对于D，令sinx＝t，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2t2，∴f（t）＝1﹣2t2，满足函数定义．故选：D．类型二、方程组求解析式例2-1（2021·湖南·高三月考）已知函数满足，则（）A．的最小值为2 B．，C．的最大值为2 D．，【答案】D【分析】先求得，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为（i），所以用代换得（ii）.（i）×2（ii）得，即，从而只有最小值，没有最大值，且最小值为1.，.故选：D.练．已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.【详解】，.

.

将代入，得，

，，

在处的切线斜率为，

函数在处的切线方程为，即.

故选：A.练．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则______．【答案】【分析】先用列方程组法求出和的解析式，代入即可求解.【详解】因为……①所以因为为偶函数，为奇函数，所以……②①②联立解得：，，所以.故答案为：.练。若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.【答案】，.【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量：用代换解析式中的，所以，第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围：因为函数是奇函数，是偶函数，所以，第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：联立，解之得，.【点评】这里运用了构造法，把符合要求的奇函数与偶函数构造出来，问题也就解决了，构造的关键是运用奇、偶函数的概念，并联系方程组的知识.类型三、利用对称性求解析式例3-1．（2021·安徽·六安二中高三月考）设为奇函数，且当时，，则当时，（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，设，则，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，设，则，则，又由为奇函数，则，故选：D.练．已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数为奇函数可得，求导可求解，，即得解【详解】当时，，则，此时，则，则，，所求切线方程为，即.故选：D练。【2021湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜”联考】若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数的图象与函数的图象关于直线对称，∴函数与函数互为反函数，又∵函数的反函数为：即，函数的图象向左平移两个单位可得，故选C．类型四、利用周期性求解析式例4-1【2021上海市崇明区高三】设是定义在R上以2为周期的偶函数，当时，，则函数在上的解析式是________【答案】【解析】设，则，结合题意可得：，设，则，故.综上可得，函数在上的解析式是.练．定义在R上的奇函数满足，当时，，则当时，不等式的解为___________.【答案】【分析】根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得时对应的函数解析式，然后解一元二次不等式即可.【详解】，函数周期为2；当时，，则当时，，由知，当时，，故时，则不等式即，解得，故答案为：【点睛】关键点点睛：难点在于求得函数在对应的函数解析式，从而解一元二次不等式.类型五、由图像判定解析式例5-1（2019·甘肃·兰州五十一中高一期中）若函数的图象如图所示，则函数的解析式可以为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案．【详解】选项B根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B排除；选项C根据图象x趋向于，函数值为负，与C矛盾故排除；选项D函数图象在第三象限，，与D的定义域矛盾，故排除；由此可得只有选项A正确；故选:A.【点睛】本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题.练．函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合函数的图象，从函数的定义域，和时判断.【详解】由图象得函数的定义域为，排除；由，排除D；由时,，排除B．故选：C.练（2020·浙江·台州市黄岩中学高三月考）某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数值恒大于等于，排除选项A、B、D，则答案可得.【详解】当时，函数值恒大于等于，而A选项中，当时，，故排除A；当时，函数值恒大于等于，而B选项中，当时，，故排除B；当时，函数值恒大于等于，而D选项中，当时，，故排除D；因此，C选项正确；故选：C.【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于中等题.练（2019·全国·高三月考（理））已知函数图象如下，则函数解析式可以为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象可知函数为偶函数，且定义域为，然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性，结合排除法可得出正确选项.【详解】由图象可知，函数的定义域为，且为偶函数.对于A选项，的定义域为，不合乎题意；对于B选项，令，得，则函数的定义域不为，不合乎题意；对于C选项，函数的定义域为，且，该函数为偶函数，合乎题意；对于D选项，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，不合乎题意.故选：C.【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法求解，考查推理能力，属于中等题.类型六、开放性解析式求解例6-1、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数___________.【答案】(答案不唯—)【解析】【分析】根据题意，利用余弦函数的性质可求出函数解析式【详解】解：因为是最大值为3，最小正周期为2的偶函数，所以，或，或等（答案不唯—)，故答案为：（答案不唯一）练、（2021·山东泰安市·高三三模）请写出一个值域为且在上单调递减的偶函数_______．【答案】【解析】由余弦函数的性质知：符合题设函数性质.【详解】由在上偶函数，值域为且在上单调递减，故答案为：练．若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则______（写出满足条件的一个函数即可）.【答案】，【分析】由于三角函数既有中心对称又有轴对称，故选三角函数即可得解.【详解】易知三角函数的图像既有中心对称点，又有对称轴，由满足此条件，故答案为：.练．已知函数满足：（1）对于任意的，有；（2）对于任意的，且，都有.请写出一个满足这些条件的函数____________________________.(写出一个即可)【答案】（答案不唯一）【分析】根据和在上为减函数，即可得到函数解析式.【详解】由题知：设，因为任意的，有，，，，所以满足对于任意的，有；因为对于任意的，且，都有，所以为上减函数，满足题意.故答案为：（答案不唯一）练．如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是______（写出一个即可）【答案】【分析】由条件，分析乘积的函数值为函数值的和，考虑对数函数，即可得到结论.【详解】由题意，函数对任意的正实数a，b，都有，可考虑对数函数，满足，故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数的解析式和性质，注意条件的特点，即乘积的函数值为函数值的和，着重考查推理能力，属于基础题.练．某函数图象关于轴对称，且在递减，在递增，则此函数可以是______（写出一个满足条件的函数解析式即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由函数图象关于轴对称，得到函数是偶函数，可从二次函数考虑.【详解】由函数图象关于轴对称，则函数是偶函数，又在递减，在递增，则此函数可以是，故答案为：（答案不唯一）类型七、目标量（式）的函数解析式化例7-1.（2021·云南高三二模（理））已知函数，若，且，设，则的取值范围为________.【答案】【解析】用表示出，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】画出图象如下图所示，，令，解得，由得，，且所以，结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为.所以的取值范围是.故答案为：练.（2021春•莱州市期末）已知函数，，若，则的最大值是．【解答】解：设，则，，所以；构造函数，；又因为，所以在上单调递减，所以当时，；当时，；所以在上单调递增，在单调递减，最大值为（2）；故答案为：．练．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导函数，表示出切线方程，再求出的表达式，最后借助导数即可作答.【详解】由求导得：，于是得，函数图象在点处的切线方程为，整理得：，从而得，，令，则，当时，，当时，，于是得在上单调递减，在上单调递增，则，所以的最小值为.故选：D练．某农家小院内有一块由线段OA,OC,CB及曲线AB围成的地块,已知,点A,B到OC所在直线的距离分别为1m,2m,,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,已知曲线OAB是函数的图象,其中曲线AB是函数图象的一部分．（1）求函数的解析式；（2）P是函数的图象上的动点,现要在如图所示的阴影部分（即平行四边形PMCN及其