统计学第9章 列联分析

第9章列联分析9.1分类数据与列联表例：某集团公司下属四个分公司。现该集团欲进行一项改革，由于涉及到各分公司的利益，希望对各分公司职工的态度有所了解。所以从四个分公司中随机选取420名员工进行调查，结果如下表所示：关于改革方法的调查结果分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32453331141合计100120901104209.1.1列联表的构造列联表：是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表每个单元：反应两方面的信息行R:态度变量行合计：RT列C:单位变量列合计：CTRxC列联表：2x4列联表9.1.2列联表的分布1观察值的分布一分公司二分公司三分公司四分公司合计百分比赞成该方案68755779279279/420=0.664反对该方案32453331141141/420=0.336合计10012090110420总合计（样本容量）：N百分比：RTN2期望值的分布分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成100x0・664=66120x0.664=8090x0.664=60110x0.664=73279反对100x0.336=34120x0.336=4090x0.336=30110x0.336=37141合计10012090110420期望值：无xC9.1.3观察值与期望值频数对比分布表分公司二分公司三分公司四分公司赞成观察值68755779期望值66806073反对观察值32453331期望值344030379.2拟合优度检验9.2.1思路：如果各分公司员工对改革方案的态度一致则各分公司员工赞成或反对该方案的比例应该相同艮卩兀二兀二兀二兀1234其中“为第i个分公司赞成改革方案的比例i那么，对比分布表中相应的观察值与期望值就应该非常接近

9.2.2检验统计量：设f为观察值频数0f为期望值频数eX2=工•eX2=工•e29.2.3判断准则当X2大于某临界值时，拒绝态度一致的原假设一一右单侧检验即X2>X2时，拒绝原假设a自由度=(R-1)(C-1)完成上面的例题解：H:兀=兀=兀二兀各分公司员工对这项改革的态度一致01234H:上面等式不全相等各分公司员工对这项改革的态度不一致1X2计算表f0fef-f0e(f-f)20e(f-f)2/.0e6866240.06063234-240.11767580-5250.312545405250.62505760-390300079736360.49323137-6360.9730e==14y（f-f）2X2〒e=3.0319e自由度=（r-i）（c-1）=3a=0.1,查表得：0.1由于3.0319<6.251，所以不能拒绝原假设，即认为四个分公司员工对这项改革的态度是一致的。例：从总体中随机抽取n二200的样本，调查后按不同属性归类，得到如下结果：n=2&n=56,n=4&n=36,n=3212345依据以往经验，各类别在总体中的比例分别为：兀=0.1，兀=0.2,兀=0.3，兀=0.2,兀=0.212345请以a二0.1的显著性水平检验，说明现在的情况与经验数据相比是否发生了显著变化。没有发生显著变化发生了显著变化解：没有发生显著变化发生了显著变化H:兀=0.1，兀=0.2,兀=0.3，兀=0.2,兀=0.2TOC\o"1-5"\h\z012345H:上面等式不全相等1?二200x0.1二20，f二200x0.2二40，f二200x0.3二60，e1e2e3f二200x0.2二40，f二200x0.2二40，e4e5X2=工(f0-fe)2e(28-20e(28-20)2(56-40匕(48-601(36-40)2(32-40匕=++++2040604040自由度=5-1=4X2⑷二7.7790.1由于14>7.779，所以不能接受原假设，即认为现在的情况与经验数据相比已经发生了显著变化。9.3独立性检验适用：两个分类变量之间是否存在联系例：一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分为三个不同等级从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表所示一级二级三级合计甲地区526424140乙地区605952171丙地区506574189合计162188150500要求检验各个地区与原料的质量之间是否存在依赖关系解：H:地区与原料等级之间是独立的(不存在依赖关系)0H:地区与原料等级之间是不独立的(存在依赖关系)1期望值的计算：以52为例设人=样本来自于甲地区则P(A)=140/500B=样本属于一级原料则P(B)=162/500

若地区与原料等级独立，贝y有P（AB）=140X162500500即来自于甲地区又属于一级品的原料频数应为500x出x162500500般化：f=Nx罟x…XCT检验统计量：x检验统计量：x2=工代入数据得：(f-f)(f-f)20e—f

e(一140x162Qc171X162\52—60—1500J1500丿2140x162500171x162+500189x150189x150、500a二0.05，查表得：X2(4)=9.4480.0574-•・•+'么=19.82189x150500自由度=（r-i）（c-1）=4由于19.82>9.448，所以拒绝原假设，即认为这些原料的产地与等级之间存在依赖关系。比较：独立性检验与一致性检验抽取样本的方法不同一致性检验：在各类别中分别抽取独立性检验：先抽取，再分类计算期望值的理论不同

9.4x2检验的期望值准则例：下表是某个应用x2检验问题的观察值与期望值情况，“0.05,请检验原假设是否成立类别A3032B110113C8687D2324E52F54G41合计263263解：H:拟合的好0H:拟合的不好1X2计算表类别f0fef-f0e(f-f)20e(f-f)2/f0eeA3032-240.125B110113-390.080C8687-110.011D2324-110.042E52394.5F54110・25G41399合计263263X2二14・008自由度=7-1=6X2(6)二12.5920.05因为14.008>12.592，所以拒绝原假设，认为数据拟合的不好X2检验的期望值准则如果只有两个单元，每个单元的期望频数必须是5或者5以上；如果有两个以上单元，若20%的单元期望频数小于5,则不能引用x2检验。改进方法：把期望频数小于5的单元进行合并。类别f0fef-f0e(f-f)20e(f-f)2/f0eeA3032-240.125B110113-390.080C8687-110.011D2324-110.042E1477497合计263263X2=7.133自由度=5-1=4X2⑷二9.4480.05因为9.448>7.133，所以不能拒绝原假设，认为数据拟合的好9.5列联表中的相关测量检验结果不独立的情况下，两者的相关程度如何9.5.1申相关系数

其中，咒2(f-fe)2en：列联表中的总频数，样本容量想法：两个变量越独立，则f与f越接近，申越接近于00e男女赞成24反对男女赞成24反对36独立男女赞成010反对50完全相关男女赞成50反对010完全相关9=0，相互独立9=1，完全相关(2x2)一般情况下，9e(0,1)，越接近于1相关性越强。局限性当列联表的行或列大于2时，随着行或列的增加，9相关系数会随之增加且没有上限，对两个变量相关程度的测量就不够清晰了。所以适用于描述2x2列联表最常用的一种相关系数9.5・2列联相关系数——c相关系数说明：

c二0，相互独立ce[o,l]c相关系数的可能最大值依赖于列联表的行数与列数，且随着行数或列数的增大而增大。所以行数、列数不相等的列联表的c相关系数不能比较RxC两个变量完全相关时的c相关系数x2x3x40.70710.81650.879.5.3V相关系数V=V=：-nxminin「（R-1）,（C-1）「e[0,1]=o,相互独立