圆柱坐标球坐标直角坐标转换公式

圆柱坐标、球坐标、直角坐标转换公式一、柱坐标及与直角坐标之间的关系三重积分的柱坐标其实就是直角坐标与极坐标的一个组合，直观地讲，就是将其中的两个变量用所在的坐标面的极坐标变量来描述.比如，当xOy面上的坐标分量用极坐标描述、z不变的柱坐标与直角坐标之间的关系为其中θ的取值由点在xOy面上的投影点所在的象限确定。关系图如图1所示。各坐标变量等于0时对应的坐标面图形分别为：θ=0：zOx面包含z轴和x正半轴的半平面ρ=0：z轴z=0：xOy面，即极坐标面

各坐标变量取常值时对应的曲面分别为：θ=θ0：由zOx面上的θ=θ0对应的射线和z轴确定的半平面；ρ=ρ0：中心轴为z轴，与z轴的距离为ρ0的圆柱面；z=z0：与xOy面，即极坐标面平行的平面。具体形状与点的位置关系如图2所示。二、球坐标与球坐标系及与直角坐标之间的转换空间点P(x,y,z)的位置可由r,φ,θ这三个数确定，并称这三个数为点P的球坐标，一般记作(r,φ,θ)；称由原点及球坐标确定的坐标系为球坐标系.

如图3.当r=0,φ=0,θ=0，其对应的图形分别为原点、z轴、过x轴正半轴和z轴的半平面.

当r=r0,φ=φ0,θ=θ0，对应的图形分别为以原点为球心、半径为r0的球面；以原点为顶点、中心轴为z、空间点对应的向径与z轴正向夹角为φ0的半圆锥面；过z轴和过空间点在xOy面上的投影点对应的向径的半平面.

这样三个曲面的交点就对应由(r0,φ0,θ0)所描述点的位置，如图4.空间点直角坐标与球坐标之间的关系为：θ取值由点在xOy面上的投影点位于xOy面的象限所确定.

三、球坐标系下区域的分类设在球坐标系中有空间立体区域Ω，如果在Ω上的点可能的(φ,θ)的取值范围内，以坐标原点为起点做射线（即φ,θ取为常数时，半平面与半锥面的交线）穿过区域内部，如果射线与区域边界曲面的交点不多于两个，则称区域Ω为φθ-型区域（为简单起见，也可称为关于r的区域）；如果所有穿经区域Ω内部的射线进入区域时与区域边界曲面的交点都在由一个关于变量φ,θ的表达式描述的曲面上，穿出区域时与边界曲面的交点都在由一个关于变量φ,θ的表达式描述的曲面上，则称之为球坐标系中的简单φθ-型区域，如图5.类似地，在Ω上的点可能的(r,φ)的取值范围内，任取r,φ分别做圆心为原点，半径为r的球面和顶点在原点，中心轴为z轴，锥面上的点对应的向径为z轴正半轴的夹角为φ的半圆锥面，则两者的交线（圆）从z轴的正向看逆时钟穿过区域，与区域边界曲面相交的交点不多于两个，则这样的区域称为r,φ-型区域；如果入点对应的角度θ可以用一个关于变量r,φ的函数表达式描述，出点对应的角度θ也可以用一个关于变量r,φ的函数表达式描述，则称之为简单r,φ-型区域，如图6.同样，在上的点可能的(r,θ)的取值范围内，任取r,θ分别做球面和半平面，则半平面与球面的交线从上到下穿过区域，与区域边界曲面相交的交点不多于两个，则这样的区域称为r,θ型区域；如果入点对应的角度φ可以用一个关于r,θ的函数表达式描述，出点对应的角度φ可以用一个关于r,θ的函数表达式描述，则称之为简单rθ-型区域，如图7.四、空间区域的球坐标不等式描述考虑到球坐标系下描述的复杂性，一般在球坐标系中只考虑φθ-型区域.

下面以简单φθ-型区域为例，来考察如何获取其球坐标变量的不等式描述形式.

假设空间区域Ω上的点对应角度θ∈[θ1,θ2]，任取θ∈(θ1,θ2)，设它对应的半平面与区域Ω相交的平面区域为D(θ)，D(θ)上点的φ取值的最小值随着θ的不同可以表示为φ=φ1(θ)，最大值可以表示为φ=φ2(θ)，如图8，则可以得到如下确定简单φθ-型区域球坐标变量不等式描述形式的步骤：

第一步：写出所有围成区域Ω的边界曲面的球坐标方程。如果边界曲面方程为直角坐标方程，则借助于球坐标与直角坐标之间的变换关系式，转换直角坐标方程为球坐标方程。

第二步：将区域Ω投影到xOy面上，借助于xOy面上极坐标确定极角范围的方法确定θ的范围，设为第三步：任取θ∈(θ1,θ2)做半平面与区域Ω相交，得到相交的平面区域D(θ)，通过取φ从0连续变化到π，得半圆锥面与区域D(θ)的边界线相交的第一个交点（或相切）位置对应的角度φ=φ1(θ)，半圆锥面离开区域D(θ)时与边界曲线相交的第一个交点（或相切）位置对应的角度φ=φ2(θ)，则得其中θ,φ的关系式可以通过球坐标系中边界曲面交线对应的方程组消去r变量得到。

第四步：对于确定的θ,φ，半平面与圆锥面的交线（从原点出发的射线），从原点出发进入区域D(θ)，与边界线的交点位置为r=r1(θ,φ)（内边界曲面的球坐标方程）；交线穿出区域D(θ)，与边界线的交点位置为r=r2(θ,φ)（外边界曲面的球坐标方程），从而可得如图8。于是，可得简单φ,ϴ-型区域的球坐标变量不等式描述形式为

【注】对于不为简单类型的区域，一般用可考虑使用r,φ,ϴ等于可取值范围内的常数对应的球面、锥面和半平面对区域进行分割，将其分割为相应的简单区域类型。

如何理解柱坐标和球坐标首先，谈谈为什么数学要引入坐标系？坐标的本质是为了方便地定位，数学中的坐标也不例外。作为数学的重要概念，坐标系是用代数方法研究几何问题最有力的工具。通过将几何元素（点、线、面、体）用坐标表示出来，应用代数化的方程、运算等达成度量几何体、处理几何问题的目标。例如，把一个三角形置于坐标系中，确定三角形的三个顶点坐标后，可以应用两点距离公式方便地计算边长、面积等。在平面直角坐标系中，y=kx+b表示直线，x2+y2=r2表示圆，通过计算原点到直线的距离，并与圆半径r比较，可以方便地判断直线与圆的位置关系。等等。其次，说说高等数学中常用哪些坐标系？1直角坐标系一维空间中就是数轴，是一条有向直线，有原点，并确定了单位长度。二维空间中是平面直角坐标系，是由在原点处相交且相互垂直的2个数轴(坐标轴)构成。三维空间中是空间直角坐标系，是由在原点处相交且两两相互垂直的3个数轴(坐标轴)构成。(1)直角坐标系中点坐标的确定设平面直角坐标系中，坐标原点为O。则平面上任意一点M←→有序数对(x,y)←→平面向量OM即三者是一一对应的，因此彼此不分家。就像一个班级里学生与其姓名、学号是一一对应的，这样，老师找某学生时，可以说他姓名，也可以说他学号都不会混淆。因此，我们通常表示为点M(x,y)，或者向量OM=(x,y)。在平面直角坐标系中，点M或向量OM的坐标(x,y)是这样确定的，过M点作x轴的垂线且与x轴交点(即点M在x轴上的投影)在x轴(数轴)上的坐标x即为平面点M的横坐标，过M点作y轴的垂线且与y轴交点在y轴(数轴)上的坐标y即为平面点M的纵坐标。例如同理，在空间直角坐标系中，点的坐标是三维有序数组构成，如点A(1,2,1.5)(2)直角坐标系的优点在平面直角坐标系中，垂直于x轴、y轴的直线可以分别表示为x=a，y=b。要表示一个圆心在原点的圆就要用稍微复杂一点的方程x2+y2=r2。其中a,b,r都为常数。在空间直角坐标系中，垂直于x轴、y轴、z轴的平面可以分别表示为x=a，y=b，z=c。而一个球心在原点的球面方程为x2+y2+z2=r2。其中a,b,c,r都是常数。2极坐标系在平面上，表示点的有序数对可以与直角坐标系的坐标不同。极坐标系的建立：①在平面内取一个定点O，称为极点；②从极点O点引一条射线Ox，称为极轴；③再选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)。(1)极坐标系中点坐标的确定对于平面上的点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就是点M的极坐标。一般地ρ≥0，θ可取任意实数，特别规定极点坐标为(0,θ)。有的教材对ρ的取值也不加限制，可以取任意实数。可以看出，极坐标系中，点和有序数对不再是一一对应关系。任意一个点都可以有无穷个坐标，即对于固定的ρ≥0和θ，(ρ,2kπ+θ)都表示同一个点，其中k为整数。有时为了保持点与坐标的一一对应关系，可限制ρ≥0，0≤θ<2π(或-π<θ≤π)，这样除极点O外，其他点都与有序数对一一对应了。对于初学者来说，觉得点和坐标不一一对应可能会引起混乱，但事实上，点与有序数对即坐标不一一对应并不能说明极坐标系不是好的坐标系，有时不一一对应反而很方便。例如，阿基米德螺线极坐标方程为ρ=aθ，其中a为正常数，θ>0。如果要在ρ≥0，0≤θ<2π(或-π<θ≤π)下，则螺线的方程相对复杂。(2)极坐标与直角坐标的相互转化平面上任一点M，在直角坐标系和极坐标系中的坐标表示是不同的。为考察两种坐标之间的关系，将两种坐标系都画出来，并使直角坐标系原点和极坐标系极点重合，直角坐标系的x轴和极坐标系的极轴重合。这样做是有道理的，因为直角坐标系中原点可以看作是基点，其他点的坐标都是以原点为基准的相对位置确定的。同样极坐标系是以极点和极轴为基准来确定其他点的坐标的。不难看出因此很容易地可以将直角坐标方程f(x,y)=0化为极坐标方程f(ρcos

θ,

ρsin

θ)=0。反过来，要从x=ρcos

θ,y=ρsin

θ求出ρ和θ，相当于求反函数，我们知道这种操作通常要在两种坐标间建立一一对应关系，否则反函数是多值函数。不妨限制ρ≥0，0≤θ<2π，极点唯一坐标为O(0,0)。这时有(3)极坐标系的优点在极坐标系中，要表示平面上一个以极点为圆心的圆和过极点的射线很简单，ρ=r就是圆，θ=α就是射线，其中r>0和0≤α<2π都是常数。可以看出，直角坐标表示直线和平面很方便，而极坐标表示圆却很方便。3柱坐标系在空间直角坐标系中，xoy平面上以极坐标替换直角坐标，而第三维度(即z轴)仍然采用直角坐标，这样形成的坐标系就是柱坐标系。柱坐标系中点的坐标形如M(ρ,θ,z)，其中z的意义与空间直角坐标系中相同，ρ,θ的意义与平面极坐标系中相似。由于是三维空间，因此z=c仍表示垂直于z轴的平面；ρ=r表示母线平行于z轴的圆柱面；θ=α表示过z轴的半平面；当然，在xoz平面使用极坐标，y轴保持直角坐标也是可以的。柱形几何体用柱坐标系是很有优势的。4球坐标系设O为空间直角坐标系原点，M为空间任一点。ρ表示线段OM的长度，φ表示OM与z轴正向的夹角，M在xoy平面上的投影为M0，θ表示线段OM0与x轴正向的夹角，且从z轴正向看逆时针方向为θ正方向，则M点的坐标可以表示为M(ρ,φ,θ)。这就是球坐标系，在球坐标系中，点的坐标也不唯一。在实际应用中，根据实