高中数学(人教A版)选修2-3之-1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)

高中数学(人教A版)选修2-3之-1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)第一页，共21页。一般地，对于nN*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？二项式系数有什么特点？第一页第二页，共21页。展开式中的二项式系数，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

………………二项式系数第二页第三页，共21页。(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………递推法二项式系数的特点第三页第四页，共21页。这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。第四页第五页，共21页。二项式系数的性质

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．第五页第六页，共21页。二项式系数的性质2．二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：第六页第七页，共21页。二项式系数的性质（2）增减性与最大值

由于：所以相对于的增减情况由决定．

第七页第八页，共21页。二项式系数的性质（2）增减性与最大值

由：

二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

可知，当时，第八页第九页，共21页。二项式系数的性质（2）增减性与最大值

当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。第九页第十页，共21页。（3）各二项式系数的和

二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

第十页第十一页，共21页。

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：（1）（2）（3）当时，（4）当时，第十一页第十二页，共21页。初步训练、选择填空：1.(1﹣x)13的展开式中系数最小的项是（）(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20(B)219（C）220(D)220－1CD4或5第十二页第十三页，共21页。课堂练习：1）已知，那么=

；2）的展开式中，二项式系数的最大值是

；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=

；第十三页第十四页，共21页。

例1

证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．第十四页第十五页，共21页。4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．例2

已知的展开式中，第第十五页第十六页，共21页。

例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416第十六页第十七页，共21页。例4、若展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。第十七页第十八页，共21页。1、已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值是_______2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.第十八页第十九页，共21页。作业作业本1.3.2（1）（1）二项式系数的三个性质。（2）数学思想：函数思想。