河南省南阳市邓州第一中学高三数学文期末试卷含解析

河南省南阳市邓州第一中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若是真命题，是假命题，则

（

）

A．是真命题

B．是假命题

C．是真命题

D．是真命题参考答案：D略2.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式，则实数的取值范围是A．

B．C．

D．参考答案：B3.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.如图，已知圆：，四边形为圆的内接正方形，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是(

)(A)

(B)(C)

(D)参考答案：5.函数,则的值域为 （）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.已知向量=（0，6），=（x，y），与﹣的夹角为，则||的最大值是（） A．6 B． 4 C． 6 D． 12参考答案：B略7.命题“对任意，”的否定是（

）A.不存在， B.存在，C.存在， D.存在，，参考答案：C【分析】命题“对任意的，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【详解】解：命题“对任意的，”是全称命题，否定时将量词对任意的实数变为存在，再将不等号变为即可，即存在，，故选:.【点睛】考查全称命题的否定，属于基础题.8.计算所得的结果为

(A)1

(B)

(C)

(D)4参考答案：A9.若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，∴z2=﹣2﹣i．∴==，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．10.直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是（

）A.

B.

C.

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若（x﹣）n的二项展开式中所有项的二项式系数和为64，则常数项为（用数字作答）参考答案：﹣20【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：由题意可得2n=64，n=6，∴（x﹣）n=（x﹣）6，它的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，可得常数项为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．12.已知向量，的夹角为，，则在方向上的投影为

▲

．参考答案：由题意得投影为

13.函数f(x)＝lnx＋的定义域为

．参考答案：(0，1]14.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=

；（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n= ．参考答案：3;6（3n﹣1）.【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．（ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．同理，当时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．15.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若，则取得最小值时，的值为_______．参考答案：【分析】因为，所以q≠1，所以，即，得．化简得，由基本不等式得其最小值，即可得到．【详解】由，得：q≠1，所以，化简得：，即，即，得，化简得＝＝，当，即时，取得最小值，所以＝故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用，基本不等式求最小值的条件，属于中档题．16.已知、满足，则的取值范围是

参考答案：17.执行如图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的直角坐标方程为.以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，（）（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；（2）设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值.参考答案：（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得，即，∴曲线的极坐标方程为.由曲线的直角坐标方程，，∴曲线的极坐标方程.（2）联立，得，∴，联立，得，∴.∴.∵，∴当时，有最大值2.19.设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）=，解得，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；（III）通过变形，只需证明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，根据函数的单调性及零点判定定理即得结论．【解答】解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）∴f′（x）==（x＞0），∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，所以，b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），下面对a的正负情况进行讨论：①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：0（a，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓

↑由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x）的单调递增区间为（，+∞）；（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣ex，∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：ex﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），则只需证：g（x）＞0，由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，∵g（1）=e﹣1＞0，=，∴g（1），∴g（x）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g（x）的零点为t，则g（t）=，即

（），由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，所以当x＞0时，，又，故等号不成立，∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）．【点评】本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，注意解题方法的积累，属于难题．20.（本小题满分12分）如图6，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1。

（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C//平面AB1D；

（3）求二面角B—AB1—D的正切值。参考答案：

解法一：

证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，所以AD⊥B1B

（1分）因为D为正△ABC中BC的中点，所以AD⊥BD

（2分）又B1B∩BC=B，所以AD⊥平面B1BCC1

（3分）又AD平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1

（4分）

（2）连接A1B，交AB1于E，连DE

（5分）因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点

（6分）又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，所以DE//A1C

（7分）又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D

（8分）

（3）解：过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG。因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1。又AB1平面A1ABB1，所以AB1⊥DF。又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG。

（9分）又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角。

（10分）因为AA1=AB=1，所以在正△ABC中，在

（11分）

所以在

（12分）解法二：解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：

（1）证明：由，得又BC∩⊥BB1=B，所以AD⊥平面B1BCC1。

（4分）又AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥B1BCC1

（5分）

（2）证明：连接A1B，交AB1于E，连DE，因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点，即

（6分）又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D

（8分）

（3）解：设平面ABB1的一个法向量为由

（9分）设平面AB1D的一个法向量为由

（10分）所以

（11分）所以，依图可得二面角B—AB1—D的正切值为

（12分）略21.如图所示，在中，是的平分线，的外接圆交于点，.（1）求证：；（2）当时，求的长.参考答案：（1）详见解析（2）考点：三角形相似，切割线定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似