2022-2023学年四川省内江市威远中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

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一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.命题“，”的否定为()

A.B.

C.D.

2.双曲线的渐近线方程是()

A.B.C.D.

3.抛物线的准线方程是，则的值为()

A.B.C.D.

4.若，则等于()

A.B.C.D.

5.焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程为()

A.B.C.D.

6.是方程表示椭圆的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.若双曲线：与：的渐近线相同，且双曲线的焦距为，则()

A.B.C.D.

8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点在双曲线的右支上，且，则的面积为()

A.B.C.D.

9.“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线：，：构造了一个类似“米“字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则()

A.B.C.D.

10.已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是()

A.B.C.D.

11.已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，，则的最小值为()

A.B.C.D.

12.法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为，则椭圆的长轴长为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是______满足条件即可．

14.已知直线与椭圆交于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是______．

15.已知是抛物线：的焦点，为坐标原点，点是抛物线上的点，且，则的面积为______．

16.已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

分别求适合下列条件的方程：

长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；

经过点的抛物线的标准方程．

18.本小题分

设集合，，命题：，命题：

若是的充要条件，求正实数的取值范围；

若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围．

19.本小题分

已知，命题：，；命题：，使得．

若是真命题，求的最大值；

若，一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围；

20.本小题分

已知曲线上的每一个点到的距离减去它到轴的距离的差都是．

求曲线的方程；

过作倾斜角为的直线交曲线于、两点，点，求的面积．

21.本小题分

已知对称轴都在坐标轴上的椭圆过点与点，过点的直线与椭圆交于，两点，直线，分别交直线于，两点．

求椭圆的标准方程；

是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

22.本小题分

以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．

Ⅰ求椭圆及其“准圆”的方程；

Ⅱ若椭圆的“准圆”的一个弦不与坐标轴垂直与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为，是全称量词命题，

所以其否定为存在量词命题，即．

故选：．

利用含有一个量词的命题的否定的定义求解．

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

2.【答案】

【解析】解：在双曲线的标准方程中，把换成，

即得的渐近线方程为，

化简可得，

故选：．

在双曲线的标准方程中，把换成，即得此双曲线的渐近线方程．

本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．

3.【答案】

【解析】【分析】

本题考查抛物线的标准方程及准线方程，属于基础题．

首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程即可求解．

【解答】

解：抛物线的标准方程是，

则其准线方程为，

所以．

故选：．

4.【答案】

【解析】解：根据题意，

则，

故选：．

利用导数的定义求解，

本题考查导数的定义，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：根据题意，要求椭圆的焦点在轴上，设其方程为，

若右焦点到短轴的上端点的距离为，则，即，则，

又右焦点到左顶点的距离为，则，即，

则；

故椭圆的方程为：；

故选：．

根据题意，设要求椭圆的方程为，由椭圆的几何性质分析可得、的值，即可得答案．

本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程的求法，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：若表示椭圆，

则，得，即且，

则是方程表示椭圆的必要不充分条件，

故选：．

根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程是解决本题的关键．

7.【答案】

【解析】【分析】

本题考查双曲线的渐近线方程和基本量的关系，属于简单题．

求出双曲线的渐近线方程，可得，再由焦距，可得，即可求解．

【解答】

解：双曲线：的渐近线方程为，

由题意可得：的渐近线方程为

，即有，

记的焦距为，则，即，即有，

解得，，

故选：．

8.【答案】

【解析】解：根据题意可得，，

解得，又，，

设，，

则根据题意及双曲线的几何性质可得：

，

，

，

，

的面积为，

故选：．

先求出，从而可得，，再设，，从而根据题意及双曲线的几何性质可建立方程组，从而可求出，最后代入代入三角形面积公式，即可得解．

本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．

9.【答案】

【解析】解：过点作于点，

，，

则，

又点在抛物线：上，

，则，

在中，，

，

，

．

故选：．

过点作于点，根据题意得到，代入抛物线：，得到，利用勾股定理即可求解．

本题考查了抛物线的性质，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：设椭圆方程为，

在中，由余弦定理可知，，

，，，

即，

又当且仅当时取等号，

，即，

的取值范围是．

故选：．

设椭圆方程为，利用余弦定理得到，再根据均值不等式得到答案．

本题考查了椭圆的性质，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：由双曲线方程可知，，，

故右焦点，左焦点，

当点在双曲线左支上运动时，

由双曲线定义知，

所以，

从而，

又为定值，

所以，

此时点在线段与双曲线的交点处三点共线距离最短．

故选：．

根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识：两点间线段最短求解即可．

本题考查了双曲线的定义，重点考查了两点间线段最短的平面几何知识，属中档题．

12.【答案】

【解析】解：椭圆的蒙日圆的半径为．

因为，所以为蒙日圆的直径，

所以，所以．

因为，

当时，等号成立，

所以面积的最大值为：．

由面积的最大值为，得，得，

故椭圆的长轴长为．

故选：．

由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求解．

本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：因为“”是“”的充分不必要条件，且，

所以且，故可取．

故答案为：答案不唯一，满足且均可．

利用充分不必要条件的定义求解．

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：由椭圆可得，，

，，

椭圆的右焦点坐标为，

直线过椭圆的右焦点，

的周长为．

故答案为：．

由题意可得直线过椭圆的右焦点，可求的周长．

本题考查椭圆的几何性质，属基础题．

15.【答案】

【解析】解：设，由抛物线方程得：，

所以，

由抛物线的定义得：，解得：，

又，解得：，

所以的面积为：．

故答案为：．

设，由抛物线的方程求得，再由抛物线定义列方程求得，从而求得，利用三角形面积公式求解即可．

本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于，两点，设，

则：，两式相减：，

是、的中点，

由中点坐标公式可知：

，

则直线的方程为：

整理得：，

故答案为：．

由，在椭圆上，则，两式相减：，由中点坐标公式可知：，即可求得直线的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线的方程．

本题考查椭圆的标准方程，圆锥曲线的中点弦公式，直线的点斜式公式，考查“点差法”的应用，属于中档题．

17.【答案】解：设椭圆的长轴长为，焦距为，

由条件可得，，

所以，，

所以，

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为．

当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，

此时，所求抛物线的标准方程为；

当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，

此时，所求抛物线的标准方程为．

综上所述，所求抛物线的标准方程为或．

【解析】根据长轴和焦距的定义求出、，进而求出，即可求解；

设抛物线方程为或，将点坐标代入，即可求解．

本题主要考查椭圆、抛物线标准方程的求解，属于基础题．

18.【答案】解：由条件，是的充要条件，

得，即，解得，

所以实数的取值范围是．

由是的充分不必要条件，得真包含于，

所以，或，解得，

综上实数的取值范围是．

【解析】根据是的充要条件转化为求解即可；

根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可．

本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．

19.【答案】解：根据题意，若是真命题，即恒成立，

当时，的最小值为，

所以，即的最大值为；

若是真命题，，解得或，

由已知、一真一假，

若真假，则，

若假真，则，

综上，或，

故的取值范围为或．

【解析】先求出的范围，利用全称命题为真命题即可求得；

先求出命题为真时的取值范围，进而分类讨论，分别求出对应的取值范围，综合即可求解．

本题考查命题真假的判断，涉及复合命题真假的判断方法，属于基础题．

20.【答案】解：设曲线上动点坐标为，

由题设得，

整理得；

设：，

联立，得，设，，

，直线经过抛物线的焦点，

，

又点到的距离，

．

【解析】利用“五步求曲“法，即可直接求解；

先设：，与抛物线方程联立，求得弦长，再求得点到直线的距离，利用三角形的面积公式求解．

本题考查轨迹方程的求解，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题．

21.【答案】解：设椭圆的方程为，，，，

将，的坐标代入可得，解得，，

所以椭圆的标准方程为：；

显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，

联立，整理可得：，可得，，

直线的方程为，令，可得，

即，同理可得，

所以

，当时，最小，且为，

所以存在有最小值，且最小值为．

【解析】设椭圆的一般方程，将，两点的坐标代入可得参数的值，进而求出椭圆的标准方程；

由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线，的方程，将代入可得，的坐标，求出数量积的表达式，由参数的范围，可得数量积的最小值．

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，数量积的运算性质的应用，属于中档题．

22.【答案】解：设椭圆的左焦点，

由得，化为．

由可得，

联立，解得，，．

椭圆的标准方程为，椭圆的“准圆”的方程为．

设直线的方程为，与椭圆的交点为，，

联立，化为，

，，可得，

由，得，即，

，此时满足成立．

则点到弦的距离