解直角三角形

第五课时28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形一、教学目标1.掌握解直角三角形的根据.2.能由已知条件解直角三角形.二、教学重点已知条件解直角三角形三、教学难点已知条件解直角三角形四、教学过程（一）预习反馈阅读教材P72～73，自学“探究”、“例1”与“例2”，完成下列内容.(1)在直角三角形中，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.(2)如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角外的五个元素之间有如下关系：三边之间的关系a2＋b2＝c2；两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；边与角之间的关系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A与斜边c，用关系式∠A＋∠B＝90°求出∠B，用关系式sinA＝eq\f(a,c)求出a.（二）教授例题类型1已知两边，解直角三角形例1(教材例1变式)根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq\r(2)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq\r(3).【解答】(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq\r(2)，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(2),2).∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝45°.∴AC＝BC＝3.(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq\r(3)，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\r(3)，AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝4eq\r(3).∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝30°.【点拨】已知类型已知条件解法步骤两边斜边和一直角边(如c，a)①b＝eq\r(c2－a2)；②由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；③∠B＝90°－∠A.两直角边(如a，b)①c＝eq\r(a2＋b2)；②由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；③∠B＝90°－∠A.【跟踪训练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么sin∠BAC的值是eq\f(4,5).类型2已知一边和一锐角，解直角三角形例2(教材例2变式)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝45°，解这个直角三角形.【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°.又∵sinA＝eq\f(BC,AB)，∠A＝45°，AB＝10，∴BC＝5eq\r(2).∴AC＝BC＝5eq\r(2).例3(教材例2变式)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解这个直角三角形.【解答】∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.∵cosA＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝eq\f(AC,cosA)＝eq\f(10,\f(\r(3),2))＝eq\f(20\r(3),3).又∵tanA＝eq\f(BC,AC)，∴BC＝AC·tanA＝10×tan30°＝10×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(10\r(3),3).【点拨】已知类型已知条件解法步骤一边和一锐角斜边和一锐角(如c，∠A)①∠B＝90°－∠A；②由sinA＝eq\f(a,c)，得a＝c·sinA；③由cosA＝eq\f(b,c)，得b＝c·cosA.一直角边和一锐角(如a，∠A)①∠B＝90°－∠A；②由tanA＝eq\f(a,b)，得b＝eq\f(a,tanA)；③由sinA＝eq\f(a,c)，得c＝eq\f(a,sinA).【跟踪训练2】如图，在△ABC中，∠B＝45°，cosC＝eq\f(3,5)，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是14a2.（三）巩固训练1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq\f(1,2)，则BC的长是(A)A.2B.8C.2eq\r(5)D.4eq\r(5)2.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(B)A.m·sinα米B.m·tanα米C.m·cosα米D.eq\f(m,tanα)米3.如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝3，cosB＝eq\f(4,5)，则AC＝eq\f(15,4).4.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝4，则DE的值是8.5.如图，在△ABC中，AC＝8，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，求AB的长.解：过点C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，CD＝AC·sin∠CAD＝8×eq\f(1,2)＝4，AD＝AC·cos∠CAD＝8×cos30°＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).在Rt△BDC中，DB＝CD·tan∠BCD＝4×1＝4，∴AB＝BD＋DA＝4eq\r(3)＋4.（四）课堂小结本节学习的数学知识：解直角三角形.（五）课堂作业完成课本P76～77页第7、8题第六课时28.2.2应用举例一、教学目标1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.二、教学重点直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题教学难点进一步理解仰角、俯角等概念，能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.教学过程教授例题例1(教材例3变式)如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切，将这个游戏抽象为数学问题，如图2.已知铁环的半径为15cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环的相切点为M，铁环与地面的接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝eq\f(3,5).(1)求点M离地面AC的高度BM；(2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于49cm，求铁环钩MF的长度.【解答】过点M作与AC平行的直线，与OA，FC分别相交点于H，N.(1)在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝15，HM＝OM·sinα＝9，∴OH＝12，MB＝HA＝15－12＝3。答：铁环钩离地面的高度为3cm.(2)∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH＋∠OMH＝∠OMH＋∠FMN＝90°，即∠FMN＝∠MOH＝α.∴eq\f(FN,FM)＝sinα＝eq\f(3,5).∴FN＝eq\f(3,5)FM.在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝49－9＝40.∵FM2＝FN2＋MN2，即FM2＝(eq\f(3,5)FM)2＋402，解得FM＝50.答：铁环钩的长度FM为50cm.【点拨】步骤：(1)根据题意画出平面图形，再将所求问题转化为直角三角形问题；(2)利用直角三角形的边角关系与三角函数的有关知识解答.例2(教材例4变式)如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树.在平台顶C点测得树顶A的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶点A的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)【解答】过点C作CF⊥AB于点F，则四边形CDBF是矩形.则CF＝DB，FB＝CD＝4米.设AB＝x米，则AF＝AB－FB＝(x－4)米.在Rt△ACF中，CF＝eq\f(AF,tanα)＝eq\r(3)(x－4)米.∴DB＝eq\r(3)(x－4)米.在Rt△AEB中，EB＝eq\f(AB,tanβ)＝eq\f(\r(3),3)x米.∵DB－EB＝DE，∴eq\r(3)(x－4)－eq\f(\r(3),3)x＝3，解得x＝6＋eq\f(3,2)eq\r(3).答：树高AB是(6＋eq\f(3,2)eq\r(3))米.【跟踪训练】如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是(D)A.200米B.200eq\r(3)米C.220eq\r(3)米D.100(eq\r(3)＋1)米（二）巩固训练1.如图，某同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度.他将30°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为10米，则旗杆AB的高度为(D)A.10eq\r(3)米B.(10eq\r(3)＋1.5)米C.eq\f(10\r(3),3)米D.(eq\f(10\r(3),3)＋1.5)米2.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据，可求观光塔的高CD是135m.3.如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度.(结果精确到0.1米)解：设楼EF的高为x米，可得EG＝EF－GF＝(x－1.5)米.依题意，得EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF(设垂足为G).在Rt△EGD中，DG＝eq\f(EG,tan∠EDG)＝eq\f(\r(3),3)(x－1.5)米.在Rt△EGB中，BG＝eq\r(3)(x－1.5)米，∴CA＝DB＝BG－DG＝eq\f(2\r(3),3)(x－1.5)米.∵CA＝12米，∴eq\f(2\r(3),3)(x－1.5)＝12，解得x＝6eq\r(3)＋1.5≈11.9，则楼EF的高度约为11.9米.（三）课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.（四）课堂作业完成课本p28.2第1、2、

第7课时与方位角、坡度有关的解直角三角形应用题一、教学目标1.能运用解直角三角形解决航行问题.2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.3.理解坡度i＝eq\f(坡面的铅直高度,坡面的水平宽度)＝tan坡角.二、教学重点解直角三角形解决航行问题.三、教学难点理解坡度i＝eq\f(坡面的铅直高度,坡面的水平宽度)＝tan坡角.四、教学过程（一）预习反馈阅读教材P76，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题，完成下列问题.(1)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解直角三角形的问题；b.根据条件的特点，适当地选用锐角三角函数等去解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.最后得到实际问题的答案.(2)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的北偏东40°方向.教授例题类型1方位角问题例1如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【解答】过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.79>10.答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险.【点拨】应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.【跟踪训练1】如图所示，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)解：过点P作PC⊥AB，点C是垂足.则∠APC＝30°，∠BPC＝45°.AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即eq\f(\r(3),3)PC＋PC＝200，(eq\f(\r(3),3)＋1)PC＝200.∴PC＝eq\f(3,3＋\r(3))×200＝eq\f(3（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)×200＝100(3－eq\r(3))≈100×(3－1.732)≈126.8＞100.答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.【点拨】解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.类型2坡度、坡角问题例2如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1m)【解答】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m).∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡的坡度i＝eq\f(1,3)≈0.3333，∴eq\f(BE,AE)＝0.3333，即tanα＝0.3333.∴α≈18°26′.∵eq\f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq\f(BE,sinα)≈eq\f(23,0.3162)≈72.7(m).答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m.【点拨】这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.【跟踪训练2】如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m到点D处，测得点A的仰角为60°，求出AB的高度.解：作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝400米，∴DF＝CD·sin30°＝eq\f(1,2)×400＝200(米)，CF＝CD·cos30°＝eq\f(\r(3),2)×400＝200eq\r(3)(米).在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，设DE＝x米，∴AE＝tan60°·x＝eq\r(3)x(米).在矩形DEBF中，BE＝DF＝200米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC，即eq\r(3)x＋200＝200eq\r(3)＋x.∴x＝200.∴AB＝AE＋BE＝(200eq\r(3)＋200)米.（三）巩固训练1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶eq\r(3)，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是(C)A.50eq\r(3)mB.100eq\r(3)mC.100mD.150m2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是(C)A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为(A)A.40eq\r(2)海里B.40eq\r(3)海里C.80海里D.40eq\r(6)海里4.如图，在坡