第08讲拓展二直线与平面所成角的传统法与向量法含探索性问题（6类热点题型讲练）（原卷版）

第08讲拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）一、知识点归纳知识点一：直线与平面所成角1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为.3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；②连接斜足与垂足；③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）①利用等体积法求垂线段的长；②5、利用向量法求线面角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①②.（注意此公式中最后的形式是：）二、题型精讲题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法）【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）在长方体中，，则与平面所成的正弦值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2022秋·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为__________.【典例3】（2022春·广东江门·高一江门市第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形的中心，平面，，分别为，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离；(3)若，求直线与平面所成角的余弦值．【典例4】（2022春·安徽滁州·高一统考期末）如图，平行六面体的棱长均相等，，点分别是棱的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与底面所成角的正弦值．【变式1】（2022春·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）如图，在三棱锥中，底面，，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值是________．【变式2】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥中，为线段的中点，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法）【典例1】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正方体中，点，分别是，上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·山东德州·高二统考期末）如图，已知直角梯形，，，，，四边形为正方形，且平面⊥平面．(1)求证：⊥平面；(2)点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【典例3】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）在四棱锥中，底面为正方形，平面，．(1)求证：平面平面；(2)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值．【变式1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是棱上靠近点的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（

）．A． B． C． D．【变式2】（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为棱上一点.(1)若为的中点，证明：平面；(2)若，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.【变式3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）在正四棱柱中，，，在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.题型03易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值（忽视最后正弦转余弦）【典例1】（2023·高二单元测试）已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点到平面的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为__________.【典例3】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.（1）证明：；（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.【变式1】（2023·全国·高三对口高考）正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023春·高二课时练习）若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为______.【变式3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．题型04求直线与平面所成角（最值或范围）【典例1】（2023春·高二课时练习）四棱锥，平面，底面是菱形，，平面平面.(1)证明：⊥；(2)设为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.【典例2】（2023·山东·校联考模拟预测）如图，圆锥的底面上有四点，且圆弧，点在线段上，若．(1)证明：平面；(2)若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最小值．【典例3】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体中，点是长方形内一点，是二面角的平面角.(1)证明：点在上；(2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值.【变式1】（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，且，点是棱上的动点（不含端点）.(1)若是棱的中点，求的余弦值；(2)求与平面所成角的正弦值的最大值.【变式2】（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考阶段练习）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上．(1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；(2)求与平面所成角的正弦最大值．题型05已知直线与平面所成角求参数【典例1】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则点坐标满足（

）A． B． C．D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，且直线与平面所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝________．【变式1】（2023·新疆喀什·统考模拟预测）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【变式3】（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末）已知几何体如图所示，其中四边形，，均为正方形，且边长为1，点在上，若直线与平面所成的角为45°，则___________.题型06直线与平面所成角中的探索性问题【典例1】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，平行六面体的所有棱长都相等，，，为棱BC的中点，在棱上运动，.(1)证明：当时，平面；(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点．(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)在直线上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．【变式1】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，