2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　直线与圆锥曲线的交点 学案

§4直线与圆锥曲线的位置关系4.1直线与圆锥曲线的交点课标要求1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数.2.会由直线与圆锥曲线交点的个数，求参数的范围.素养要求通过直线与圆锥曲线的位置关系的判断提升学生的逻辑推理和数学运算素养.一、直线与椭圆的交点1.思考如何判断直线l：y＝kx＋b与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)交点的个数？提示由于y＝kx＋b过点(0，b)，而点(0，b)在椭圆C上，所以直线与椭圆有1个或2个交点.2.思考若直线l与椭圆C相交，那么怎样求交点坐标？提示直线l的方程与椭圆C的方程联立，通过求方程组的解确定交点坐标.3.填空直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0温馨提醒直线与椭圆的位置关系只有3种，相离、相切、相交.4.做一做(1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.相切或相交答案C解析把y＝－x＋3代入椭圆方程，得5x2－24x＋32＝0，其Δ＝(－24)2－4×5×32<0，故直线与椭圆相离.(2)直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1))消y可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.二、直线与双曲线的交点1.思考类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有几种位置关系？提示有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.2.填空把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.(1)Δ＞0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点.(3)Δ＜0时，直线与双曲线没有公共点.当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.温馨提醒直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.3.做一做(1)“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线可能平行)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.(2)若直线y＝kx与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1相交，则k的取值范围为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))解析把y＝kx代入eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，得4x2－9k2x2＝36，即(4－9k2)x2＝36，因直线与双曲线相交，∴x2＝eq\f(36,4－9k2)≥0，∴4－9k2＞0，∴－eq\f(2,3)＜k＜eq\f(2,3).三、直线与抛物线的交点1.思考直线与抛物线的位置关系有几种.提示3种.相离、相切、相交.2.思考直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？提示不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个公共点，但两者相交.3.填空直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，此时直线与抛物线相交；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点，此时直线与抛物线相切；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点，此时直线与抛物线相离.(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点，此时直线与抛物线相交.温馨提醒(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.4.做一做(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点答案C解析因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，所以直线过点(1，0).又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部.所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.故选C.(2)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.答案0或1解析当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或k＝1.题型一直线与椭圆的交点问题例1当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点.解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,9x2＋16y2＝144))消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144，整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14400.(1)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点；(2)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；(3)当Δ>0时，得－5<m<5，此时直线l与椭圆有两个公共点.思维升华判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目可先判断直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到直线与椭圆的位置关系.训练1若直线y＝x＋m与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1有两个公共点，求m的取值范围.解把直线方程y＝x＋m与椭圆方程eq\f(x2,4)＋y2＝1联立，消去y，得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0，解得－eq\r(5)<m<eq\r(5).故m的取值范围为(－eq\r(5)，eq\r(5)).题型二直线与双曲线的交点问题例2已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点.解联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝k（x－1），))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0))得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3)且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0))得k＝±eq\f(2\r(3),3)，此时方程(*)有一个实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.故当k＝±eq\f(2\r(3),3)或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2<0，,1－k2≠0))得k<－eq\f(2\r(3),3)或k>eq\f(2\r(3),3)，此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点.思维升华(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点时，应分两种情况讨论，直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.训练2已知双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.解(1)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意.(2)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).综上，k＝eq\f(5,2)或k＝±2或k不存在.题型三直线与抛物线的交点问题例3已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq\f(1,4)，∴直线l与C只有一个公共点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，此时直线l平行于x轴.当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k＞1时，l与C没有公共点.思维升华判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.训练3已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.答案[－1，1]解析由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方