2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　圆与圆的位置关系 学案

2.4圆与圆的位置关系课标要求1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法.3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.素养要求通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养.1.思考平面内两个不等的圆之间有几种位置关系？分别是什么？提示五种.分别是外离、外切、相交、内切、内含.2.思考类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，通过定量计算判断它们之间的位置关系？提示①几何法：利用圆心距与半径和或差的关系判断；②代数法：利用联立两圆的方程，所得的一元二次方程的判断式Δ，然后再结合图形进行判断.3.填空(1)用几何法判断圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，则圆心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2图示(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，将方程联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.))消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则①判别式Δ>0时，C1与C2相交.②判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切.③判别式Δ<0时，C1与C2外离或内含.温馨提醒(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.4.做一做(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A.内切 B.相交C.外切 D.外离答案B解析圆心距d＝eq\r(（－2－2）2＋（0－1）2)＝eq\r(17).由于3－2<d<2＋3.故选B.(2)两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是()A.eq\r(10) B.eq\r(5)C.5 D.eq\f(\r(10),2)答案D解析由题意可知eq\r(（3－0）2＋（－1－0）2)＝2r，∴r＝eq\f(\r(10),2).

题型一两圆位置关系的判断例1当a分别为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外离？解将两圆方程化为标准方程，则C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，则|r1－r2|＝1，|r1＋r2|＝5.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2；(2)当1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25时，两圆相交，此时－5<a<－2或－1<a<2；(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.思维升华判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.训练1(1)(多选)当实数m变化时，圆x2＋y2＝1与圆N：(x－m)2＋(y－1)2＝4的位置关系可能是()A.外离 B.外切C.相交 D.内含答案ABC解析圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1；圆N：(x－m)2＋(y－1)2＝4的圆心为(m，1)，半径为2.所以圆心距d＝eq\r(m2＋1)≥1＝2－1，所以这两个圆的位置关系不可能是内含，故选ABC.(2)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是()A.4 B.6C.16 D.36答案C解析圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴eq\r(（2＋1）2＋（0－4）2)＝1＋eq\r(a)，解得a＝16.题型二利用两圆的位置关系求圆的方程例2求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))的圆的方程.解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则eq\r(（a－1）2＋b2)＝r＋1.①又所求圆过点M的切线为直线x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3).②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.迁移将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－eq\r(3))的圆的方程”.解因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－eq\r(3))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(（a－1）2＋02)＝r＋1，,（3－a）2＋（－\r(3)）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,r＝2，))所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.思维升华通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.训练2已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝1.(1)若直线l过定点A(4，0)，且与圆C相切，求直线l的方程；(2)若圆M的半径为4，圆心在直线x＋y－1＝0上，且与圆C外切，求圆M的方程.解(1)由题意可知，C：(x－4)2＋(y－2)2＝1，且A(4，0)在圆C外，由分析知，所求直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－4)，所以圆心C(4，2)到直线l：kx－y－4k＝0的距离为r＝1，所以eq\f(|4k－2－4k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3)，故所求直线l的方程为eq\r(3)x－y－4eq\r(3)＝0或eq\r(3)x＋y－4eq\r(3)＝0.(2)由题意，可设圆心M的坐标为(t，1－t)，t∈R，则由圆C与圆M外切，得圆心距为|CM|＝5，所以eq\r(（t－4）2＋（－t－1）2)＝5，即t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1，则圆心M(4，－3)或M(－1，2).故所求圆M的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x＋1)2＋(y－2)2＝16.题型三相交弦与圆系方程问题例3已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.解(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，①,x2＋y2＋6y－28＝0②))的解.①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.又圆C1的圆心(－3，0)，r＝eq\r(13)，∴C1到直线AB的距离d＝eq\f(|－3＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(13－\f(1,2))＝5eq\r(2)，即两圆的公共弦长为5eq\r(2).(2)法一解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2).设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则eq\r(（a＋1）2＋（a－4－3）2)＝eq\r(（a＋6）2＋（a－4＋2）2)，解得a＝eq\f(1,2)，故圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半径为eq\r(\f(89,2)).故圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.法二设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.思维升华(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).训练3求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程.解法一设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－eq\f(4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，所以圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).又圆心在直线x－y－4＝0上，所以eq\f(2,1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，即λ＝－eq\f(1,3).所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.法二由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3.))所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－