求n阶行列式的方法

求n阶行列式的方法

根据行列式的不同形式，计算方法也不同。求n阶行列式的一般方法有:定义法,化三角法,按行或按列展开法等。除了这些常规方法以外,还有很多技巧,这些技巧隐含在线性代数的相关理论中。下面对求n阶行列式的方法进行深入的归纳,分析。一、非线性法使用范围:二阶和三阶行列式。具体方法:按照对角线法则展开。二、定义算行列式n阶行列式的定义展开式中包含n!项,n=5时,已经包含120项。所以利用行列式定义进行运算基本不现实。只有一种情况考虑利用定义算行列式,就是行列式中0比较多,这样可以大大减少行列式展开的项数。解:根据行列式的定义,行列式展开后的每一项都是n个元素的乘积,且这n个元素来自行列式不同的行及不同的列。所以行列式中只有一个非零项12…(n-1)n=n!,这一项的逆序数为n-1,所以Dn=(-1)n-1n!三、递推公式法dn对n阶行列式Dn找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1,Dn-2之间的一种关系(成为递推公式),再由递推公式求出Dn的方法成为递推公式法。六、a为“a”,2e,2.设λ1,λ2…λn是n阶矩阵A的全部特征值,则有公式∣A∣=λ1λ2…λn,故主要能求出矩阵A的全部特征值,那么就可计算出A的行列式。例9设A是三阶矩阵,A2=E,rank(A-E)=,1求∣A-2E∣。解:先计算A的特征值,设λ是A的特征值,ξ是A的属于特征值λ的特征向量,那么Aξ=λξ,由此得到A2ξ=λAξ=λ2ξ,由已知A2=E,所以ξ=λ2ξ即1(-λ2)ξ=0,但ξ≠0,所以1-λ2=0,即得λ=±1。由已知rank(A-E)=1,故特征值1的重数为2,所以A的特征值为1,1,-1。再计算A-2E的特征值,设µ是A-2E的任一特征值,η是属于µ的特征向量,那么(A-2E)η=µη,即Aη=(2+µ)η,所以2+µ是A的特征值,于是2+µ等于1,1,-1。所以µ等于-1,-1,-3。于是本文比较详细地总结了计算行列式的方法,具体计算行列式时一般都是几种方法结合起来一起使用,而不是单独的一种方法,这需要具体问题具体分析。将Dn按第一行展开后再将第二个行列式按第一列展开得:在上式中,由于α,β的地位一样,故同理有,联立上面两式得到:四、按行列展开定理降阶是行列式运算的基本思想,根据行列式按行或按列展开定理,可以把行列式展开成若干个低一阶的行列式的和,依次类推,任意阶行列式都可以化成低阶的行列式来计算。例4证明下列各式证根据所给行列式的特点,我们利用按行(列)展开定理使行列式降阶。逐个代入可得结论成立。五、利用行列式求解行列式一般阶数越低越容易计算,但有时给行列式加上一行一列(也就是升阶)后反而使问题简化,这种方法表面上把问题复杂化,但只要加边巧妙,实际上有时可以起到意想不到的效果。解:注意到行列式中1的个数比较多,给行列式加上1行1列,得如下行列式:拆分法就是根据行列式的性质把行列式拆成两个或若干个行列式的和,而拆出来的行列式可以利用已知的方法去求解。例6计算n阶行列式七、析因子法如果行列式D中有一些元素是某个参变数x的多项式,那么可以将行列式D看成是一个多项式f(x),然后利用行列式的性质求出f(x)所有互素的一次因式,这些因式乘积为g(x)。则f(x)与g(x)只相差一个常数银子c,通过比较两函数的某一项系数,求出c即可。解:D可以看成关于x的多项式f(x),显然八、范德蒙行列式例8