立体几何复习

立体几何复习（文）线面平行的判定定理线面平行的性质定理面面平行的判定定理面面平行的性质定理证明线线平行的常用方法线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理证明线线垂直的常用方法1、相交垂直2、异面垂直空间角：1、线线角；2、线面角；3、面面角1．如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．（1）证明：平面；（2）若M是AB的中点，证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积．2．如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.(1)求证:面；(2)求证:平面平面.3．如图所示，在四棱锥中，，，面面．求证：（1）平面；（2）平面平面．4．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（Ⅰ）求证：平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.5．如图所示：在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.7．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．（1）求证：；（2）求证：（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：EF∥平面PCD.9．如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且满足.（1）求证:；（2）求证:平面.10．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且（1）求证：平面平面；（2）求证：∥平面.11．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线SC垂直于圆O所在的平面，D，E分别是SA，SC的中点．证明：平面ABC平面平面SBC12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.13．已知四面体中面，，垂足为，，为中点，,（1）求证：面；（2）求点到面的距离．14．在三棱锥中，，，点、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．15．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=π2，PA=2，AB=AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点．（I）求证：EF⊥平面PAD；（II）求点A到平面PEF参考答案1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用得出平面.（2）通过证明平面，可证得平面平面.（3）利用等体积转化求出即可.【详解】（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，平面（2）证明：在正方体中，,是中点，.平面，平面，则.平面，平面，且，平面.平面，∴平面平面（3）因为平面，所以点，点到平面的距离相等.故．【点睛】本题考查了证明线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，注意判定定理中的条件，利用等体积转化求三棱锥的体积是常用的方法，属于基础题.2．（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及面来加以证明．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC内找一条直线与直线PD平行即可．设，连接EO，由三角形中位线可得即得；（2）连接PO，由题意得PO⊥AC，又底面为菱形，则AC⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以而，所以面（2）连接PO，因为，所以，又四边形是菱形，所以而面，面，，所以面又面，所以面面考点：1．线面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；3．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题可得根据线面平行的判断定理可证平面；（2）由题，易得，再利用面面可得面，即得证.【详解】(1)面,面,∴平面(2)∵∴∵面面,面面,面,∴面,又面,∴面面【点睛】本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题的关键，属于较为基础题.4．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明平面BCD，需要证明，，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和斜线的方向向量，代入公式计算试题解析：（Ⅰ）证明：为的中点，，,，，，又，，，均在平面内，平面（Ⅱ）方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，则，取，，则点到平面的距离为方法二：设点在上，且，连，为的中点，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，且交线为过点作于点，则平面分别为的中点，则平面，平面，平面，点到平面的距离即，故点到平面的距离为考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离5．（1）详见解答；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，再由面面垂直定理可得平面，即可证明结论；（2）平面，用等体积法求三棱锥的体积.【详解】（1）为中点，，平面平面，平面平面，平面，平面平面，平面平面；（2）且，分别为的中点，，平面，，.【点睛】本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.6．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面；（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P-ABCD的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，故AC⊥平面PBD；（2）因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB=AD=2，所以菱形ABCD的面积为，故四棱锥P-ABCD的体积.【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.7．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.（2）取的中点，根据【详解】（1）因为，平面平面，平面平面，平面，则平面．又因为平面，所以．（2）取的中点，连接，．在中，因为，分别是，的中点，所以8．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)先证明平面PE⊥BC即得证.(2)取中点，连接.证明，再证明EF∥平面PCD.【详解】（1）∵，且为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面.∵面，∴PE⊥BC.（2）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为平行四边形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.9．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知可证得，又有，得到面，进而证明结论；（2）连结，连结，可证，结合已知可证，即可证明结论.【详解】（1）∵四棱锥中，平面，平面，∴，又，平面，，∴面.面，∴.（2）连结，∵，，,在中，连结，∵，∴，又面，面，∴面.【点睛】本题考查线线垂直的证明，注意空间垂直之间互相转化，考查线面线平行，属于基础题.10．（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）先证明，即证平面BMN⊥平面ACC1A1.(2)取的中点，连接和，证明，再证明MN∥平面BCC1B1．【详解】(1)证明：因为为棱的中点，且，所以，因为是直三棱柱，所以，因为，所以，又因为，且，所以，因为，所以平面.(2)取的中点，连接和，因为为棱的中点，所以，且，因为是棱柱，所以，因为为棱的中点，所以，且，所以，且，所以是平行四边形，所以，又因为，所以.【点睛】本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.11．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1）由D，E分别是SA，SC的中点，可得DE∥AC，从而得到DE∥平面ABC；（2）由AB为圆O的直径，得AC⊥BC，再由SC垂直于圆O所在的平面，得SC⊥AC，可得AC⊥平面SBC，利用面面垂直的判定定理即可得证．【详解】证明：，E分别是SA，SC的中点，，又平面ABC，平面ABC，平面ABC；为圆O的直径，，垂直于圆O所在的平面，，而，平面SBC，又平面SAC，平面平面SBC．【点睛】本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形证明，得到答案.（2）计算得到，，再利用体积公式计算得到答案.【详解】（1），为的中点，故，平面平面，平面平面，故平面.（2），，故，.故.【点睛】本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.13．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.（2）求点到面的距离用等体积法,由,分别算出、,建立体积等式关系即可求到面的距离．【详解】、（1）因为,所以为中点,又因为是中点,所以,而面,面,所以面.（2）由已知得,,,所以三角形为直角三角形其面积,三角形的面积设点到面的距离为,因为,即解得,所以点到面的距离为.【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即.（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh求出点到平面的距离.14．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）推导出，由此能证明平面．（2）推导出，，，由此能证明平面．【详解】（1）点、分别为、的中点．，平面，平面，平面．（2），，点、分别为、的中点，，，，，平面．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（I）见解析；（II）2【解析】【分析】（I）证明PA⊥EF，AD⊥EF得到EF⊥平面PAD.（II）设EF与AD相交于点G，连接PG，证明平面PEF⊥平面PAD，过A作AO⊥