线段的垂直平分线2

课题:线段的垂直平分线（二）国本中学九年级备课组(王远成幸福李学英林豪)教学目标（一）教学知识点1、经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。2、经历猜想、探索，能够作出以为底，为高的等腰三角形。（二）能力训练要求1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。2、体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。3、学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。（三）情感与价值观要求1、能够积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。2、在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。教学重点1、能够证明与线段垂直平分线相关的结论。2、已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。教学难点证明三线共点。教学方法活动——探究——交流教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ、提出问题，引入问题[师]习题的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么？（教师可用多媒体演示作图过程）[生]我们发现三角形三边的垂直平分线交于一点。[生]这一点到三角形三个顶点的距离相等。[师]看来，同学们已能很自觉地做一些教学思考。三角形三边的垂直平分线真能交于一点吗？下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流。[生]和习题有着同样的结论。[师]但这只是用我们的眼睛观察到的。我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义。这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论。[板演题目：§1.3.2线段垂直平分线（二）]Ⅱ、讲述新课[师]现在我们就来从理论上证明这个结论，MA也就是证明“三线共点”，这是我们没有遇到EQ过的，不妨我们再来看一下演示过程，或许你PO能从中受到启示。F多媒体演示要分步骤：BNC先作出第一条垂直平分线：EF，让EF闪烁3次；再作出PQ，此时EF、PQ同时闪烁3次；最后作出MN，此时EF、PQ、MN同时闪烁。[生]我想，证明“三线共点”，其中两条直线必交于一点，那么只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可。[师]大家同意这位同学的想法吗？[生]同意。[师]好的，虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，但是我还有疑问，你怎么知道这个交点在第三条垂直平分线上呢？[生]根据我们上节课学过的垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，只要说明这个交点到三角形第三边两个端点的距离相等，不就说明这个点在第三边的垂直平分线上吗？[师]这位同学分析得很有道理。下面我们一同来证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点。P[师生共析]AP已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AB，BP，CP。求证：P点在AC的垂直平分线上。BC证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。同理PB=PC∴PA=PC∴P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P[师]从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？[生]交点P到三角形三个顶点的距离相等。多媒体演示我们得出的结论。定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。[师]下面我们来看练习（多媒体演示）1、分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置。2、已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，求证：OA=OB=OC。解：1、如图所示CBA可以发现，锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。2、证明：∵AB=ACAOAD是BC的中线，O∴AD垂直平分BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）又∵AB的垂直平分线与AD交于点O，BDC∴OB=OC=OA（三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）。多媒体演示议一议（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作出几个？所作出的三角形都全等吗？（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？以上问题演示时依次出现[生]（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图：已知：三角形的一条边和这边上的高。求作：△ABC，使BC=，BC边上的高为。AAABCBC（D）BCDA1A1从上图我们会发现，先作已知线段BC=；然后再作出BC边上的高，但垂足不确定；我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边上的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD（或A1D），使AD=A1D=，连接AB，AC（或△A1B，A1C），所得△ABC（或△A1BC）都满足条件，所以这样的三角形有无数多个，观察还可以发现这些三角形不都全等。[生]（2）如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个。根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形。[生]不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去。A1[师]大家思考问题很全面仔细，如图所示，我们还可以发现这些三BC角形不都全等。我们再来看第（3）个问题。[生]如果底边和底边上的高都A6一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧。[师]你能尝试着用尺规作出这个三角形吗？[师生共析]已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段、求作：△ABC，使AB=AC，BC=，高AD=作法：1、作BC=M2、作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；A3、以D为圆心，长为半径作弧交MN于A点；4、连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形（如图所示）BDC[生]这样的△ABC应有两个，为什么不作出另一个呢？[师]他的这个问题提得很好，这里需要说明的是，作图分“定位作图”和“活位作图”，前都则对所求作的图形必须作在指定的位置，而后者则对所求作图形的位置没有硬性限制。如“作已知线段的垂直平分线”属定位作图，而“以已知正方形的一边为边作等边三角形”“已知两边及其夹角作三角形”都属于活位作图。对于定位作图，能作出多少个满足条件的图形，就说这个作图题有多少个“解”，对于活位作图，如果所作出的图形彼此全等，那么不论能作出多少个图形，都说这个作图题有一个“解”；如果所作出的图形不都全等，那么不全等的才算不同的“解”。“已知底边及边上的高，求作等腰三角形”，属活位作图，虽然满足条件的三角形可作出两个，但因它们全等，故只有一解。从这个意义上说，满足这一条件的等腰三角形是唯一确定的。Ⅲ、课时小结本节课通过折纸，推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”。Ⅳ、课后作业习题第1、2题Ⅴ、活动与探究求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段[过程]根据题意，可知所作三角形是等腰三角形，因此，等腰三角形顶角的顶点在已知线段的垂直平分线上，但要求作的是等腰直角三角形，就意味着直角顶点是一个唯一确定的位置，因为等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半。[结果]已知：线段求作：等腰直角三角形ABC使BC=。作法：1、作线段BC=2、作线段BC的垂直平分线，交BC于点D3、在上作线段DA，使DA=DB4、连接AB、AC△ABC为所求的等腰直角三角形板书设计§1.3.2线段的垂直平分线（二）1、定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP、CP。求证：点P在AC的垂直平分线上。证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB同时PB=PC∴PA=PC∴点P在AC的垂直平分线上。2、探索、发现——议一议、做一做备课资料巧用线段垂直平分线的性质线段的垂直平分线具有如下重要的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。巧用这个性质，可迅捷地解答一些几何证明问题。[例1]如图，线段CD垂直平分AB，CAB平分∠CAD，求证：AD∥BC。证明：∵CD垂直平分AB1∴CA=CB，∠1=∠BA2B∴∠1=∠2，∴∠2=∠B∴AD∥BCD[例2]如图，△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，2DE垂直平分AB，交AC于D，交AB于E，A2求证：AD=BC证明：∵DE垂直平分ABE∴AD=BD，∠1=∠A1D∴∠2=2∠AB2C2∴∠C=2∠A，∴∠2=∠C，BD=BC∴AD=BC§角平分线课时安排2课时教材分析本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习解平分线的性质和判定定理及相关结论，学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质。本节的重点是进一步发展学生的推理证明意识和能力，使之能够证明角平分线的性质和判定定理及相关结论，能够利用尺规作已知角的角平线；难点是初步应用角平分线的性质和判定定理，而关键是分清角平分线的性质定理和判定定理的题设和结论，教学时，主体运用启发式教学，采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯。学生初学角平分线的性质