直线与圆的方程应用

4.2.3（约两课时）三维目标：【知识与技能】1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．【过程与方法】通过观察、分析、归纳的引导，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。【情感态度与价值观】让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．重点与难点：【重点】直线与圆的方程的应用【难点】坐标系的建立．教学方法：启发引导，分析讲解，练习领会。教具准备：POWERPOINT教学过程：第一课时一．引入新课【师】前面，我们学习了直线和圆的方程、直线和圆的位置关系。直线和圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用。下面，我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用。二．新课讲解【例1】如图是某圆拱桥一孔圆拱的示意图。这个圆的圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）【师】先让学生思考、讨论、探究。然后归纳讲评。解法一：设圆拱所在圆的圆心为，则∵拱高是∴一定在上又∵，∴又∵∴解法二：如图，建立直角坐标系，可得圆拱所在圆的方程是又∵将的横坐标代入圆方程得故支柱的高度为【例2】已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。证明：，以四边形互相垂直的对角线，所在的直线分别为轴，轴，建立直角坐标系。设，，，。过四边形外接圆的圆心分别作，，的垂线，垂足分别为，，，则，，分别是，，的中点。由线段的中点坐标公式得，，，。所以，又所以【师】归纳总结用坐标法解决几何问题的步骤并板书。用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．三.练习领会1．师生共同完成下例的解答【例3】据气象台预报，在市正东方向处有一台风中心形成，并以的速度向西北方向移动，距离台风中心内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，台风将影响市，持续时间有多长？分析：台风中心在运动。它的运动规律是沿直线方向的。且由题意知当台风进入以为圆心，为半径的圆上或圆内时，市将受影响。解：如图，建立直角坐标系，则∵小时时台风中心位于，且当台风影响市时有，即故：大约后，市将受台风影响，并持续【变式】在某海宾城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南（）方向的海面处，并以的速度向西北方向移动。台风侵袭的范围为圆形区域。当前半径为，并以的速度不断增大。问：几小时后该城市受到台风侵袭？侵袭的时间持续多长？解：如图，建立直角坐标系，则∵的坐标是（，），小时时台风中心位于，且【例4】已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：将代入得即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度因此，该货车不能驶入这个隧道；思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？2．学生独立完成课本第132页练习各题四．课内小结：本节课我们学习了直线和圆的方程的应用问题，知道了用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解