吉林省长春市高新区2024届数学九年级第一学期期末监测试题含解析

吉林省长春市高新区2024届数学九年级第一学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．若一个圆内接正多边形的内角是，则这个多边形是（）A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为()A．42° B．48°C．52° D．58°3．半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交4．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为()A． B． C． D．5．如图，水平地面上有一面积为30cm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是()A．cm B．cm C．cm D．30cm6．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断7．一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（）A． B． C． D．8．如图的中，，且为上一点．今打算在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：（甲）连接，作的中垂线分别交、于点、点，则、两点即为所求（乙）过作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则、两点即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确9．如果双曲线y＝经过点（3、﹣4），则它也经过点（）A．（4、3） B．（﹣3、4） C．（﹣3、﹣4） D．（2、6）10．如图，在矩形中，于F，则线段的长是（）A． B． C． D．11．下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2+bx+c12．若，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．不等式＞4﹣x的解集为_____．14．在一个不透明的袋子中装有8个红球和16个白球，它们只有颜色上的区别，现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，则取走的红球为_______个．15．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．16．如图，是的外接圆，是的中点，连结，其中与交于点.写出图中所有与相似的三角形：________.17．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于．18．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在中，，求的度数.20．（8分）如图，是⊙的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且是⊙的切线.（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求的长；（3）设的面积是的面积是，且.若⊙的半径为，求.21．（8分）利用公式法解方程：x2﹣x﹣3＝1．22．（10分）已知：如图，是正方形的对角线上的两点，且.求证：四边形是菱形.23．（10分）不透明的袋子中装有1个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、1．(1)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率；(2)随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和为奇数”的概率．24．（10分）如图1，在和中，顶点是它们的公共顶点，，．（特例感悟）（1）当顶点与顶点重合时（如图1），与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；（探索论证）（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；（拓展应用）（3）试探究：当等于多少度时，以点为顶点的四边形是矩形？请给予证明．25．（12分）如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,2)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．26．如图，在钝角中，点为上的一个动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交线段于点.已知∠C=30°，CA=2cm,BC=7cm,设B，P两点间的距离为xcm,A,D两点间的距离ycm.小牧根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，请补充完整:(1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是；(2)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表:0.511.021.913.4734.164.473.973.222.421.66a2.022.50通过测量。可以得到a的值为；(3)在平而直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;(4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为cm.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据正多边形的内角求得每个外角的度数，利用多边形外角和为360°即可求解．【题目详解】解：∵圆内接正多边形的内角是，∴该正多边形每个外角的度数为，∴该正多边形的边数为：，故选：A．【题目点拨】本题考查圆与正多边形，掌握多边形外角和为360°是解题的关键．2、A【解题分析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故选A．考点：旋转的性质．3、D【分析】根据直线和圆的位置关系来判断.【题目详解】设圆心到直线l的距离为d，则d≤10，当d＝10时，d＝r，直线与圆相切；当r＜10时，d＜r，直线与圆相交，所以直线与圆相切或相交.故选D点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，①直线和圆相离时，d>r；②直线和圆相交时，d<r；③直线和圆相切时，d＝r(d为圆心到直线的距离)，反之也成立.4、D【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.【题目详解】解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=(180°-134°)=23°∴=90°-23°=67°故答案为D.【题目点拨】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.5、A【解题分析】如下图，在灰色扇形OAB向右无滑动滚动过程中，点O移动的距离等于线段A1B1的长度，而A1B1的长度等于灰色扇形OAB中弧的长度，∵S扇形=，OA=6，∴（cm），即点O移动的距离等于：cm.故选A.点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动，其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.6、B【解题分析】比较OP与半径的大小即可判断.【题目详解】，，，点P在外，故选B．【题目点拨】本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.7、C【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【题目详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为，∴解得：，即其圆心角度数是故选C．【题目点拨】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．8、A【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到，，则根据“”可判断，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到，，则根据“”可判断，则可对乙进行判断．【题目详解】解：如图1，垂直平分，，，而，，所以甲正确；如图2，，，∴四边形为平行四边形，，，而，，所以乙正确．故选：A．【题目点拨】本题考查作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．9、B【解题分析】将（3、﹣4）代入即可求得k，由此得到答案.【题目详解】解：∵双曲线y＝经过点（3、﹣4），∴k＝3×（﹣4）＝﹣12＝（﹣3）×4，故选：B．【题目点拨】此题考查反比例函数的性质，比例系数k的值等于图像上点的横纵坐标的乘积.10、C【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出，再由面积法求出的长即可．【题目详解】解：四边形是矩形，，，，的面积，；故选：．【题目点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，熟记直角三角形的面积求法是解题的关键．11、A【题目详解】A.y=x2，是二次函数，正确；B.y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；C.y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；D.y=ax2+bx+c，a=0时，，不是二次函数，错误．故选A．考点：二次函数的定义.12、B【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性分别解得的值，再计算即可．【题目详解】故选：B．【题目点拨】本题考查二次根式、绝对值的非负性、幂的运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、x＞1．【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.【题目详解】解：去分母得：x﹣1＞8﹣2x，移项合并得：3x＞12，解得：x＞1，故答案为：x＞1【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.14、1【解题分析】设取走的红球有x个，根据概率公式可得方程，解之可得答案．【题目详解】设取走的红球有x个，根据题意，得：，解得：x=1，即取走的红球有1个，故答案为：1．【题目点拨】此题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．15、或．【解题分析】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角.故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形.因此，本题需要按以下两种情况分别求解.(1)当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∵BC=20，∴在Rt△ABC中，，∵DE是△ABC的中位线，∴，∴在Rt△CFE中，，.∵BM=3，BC=20，FC=5，∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，，∵DE是△ABC的中位线，BC=20，∴，DE∥BC，∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，∴，∴在Rt△ODE中，.(2)当∠MON=90°时，则DN⊥ME.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，，∴在Rt△MFE中，，∵∠DEO=∠EMF，∴，∵DE=10，∴在Rt△DOE中，.综上所述，DO的长是或.故本题应填写：或.点睛：在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解.另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.16、；．【分析】由同弧所对的圆周角相等可得，可利用含对顶角的8字相似模型得到，由等弧所对的圆周角相等可得，在和含公共角，出现母子型相似模型．【题目详解】∵∠ADE=∠BCE，∠AED=∠CEB，∴；∵是的中点，∴，∴∠EAD=∠ABD，∠ADB公共，∴．综上：；．故答案为：；．【题目点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等的应用是解题的关键．17、．【解题分析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半，依此公式计算即可：圆锥的侧面积．18、【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．【题目详解】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．【题目点拨】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．三、解答题（共78分）19、70°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求得.【题目详解】故的度数为.【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出是解题关键.20、（1）是等腰三角形，理由见解析；（2）的长为；（3）.【解题分析】（1）首先连接OB，根据等腰三角形的性质由OA＝OB得,由点C在过点B的切线上，且，根据等角的余角相等，易证得∠PBC＝∠CPB，即可证得△CBP是等腰三角形；（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到，然后解方程即可；（3）作CD⊥BP于D，由等腰三角形三线合一的性质得，由，通过证得，得出即可求得CD，然后解直角三角形即可求得.【题目详解】（1）是等腰三角形，理由：连接，⊙与相切与点，，即，，是等腰三角形（2）设，则，在中，，，，，解得，即的长为；（3）解：作于，，，，，，，，，.【题目点拨】本题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形相似的判定和性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．21、x1＝，x2＝．【分析】观察方程为一般形式，找出此时二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于1，故利用求根公式可得出方程的两个解．【题目详解】解：x2﹣x﹣3＝1，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞1，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【题目点拨】此题考查了利用公式法来求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出相应的a，b及c的值，代入b2-4ac中求值，当b2-4ac≥1时，可代入求根公式来求解．22、见解析【解题分析】连接AC，交BD于O，由正方形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD根据BE=DF可得OE=OF，由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定，【题目详解】∵四边形ABCD是正方形，∴OD=OB，OA=OC，BD⊥AC，∵BE=DF，∴DE=BF，∴OE=OF，∵OA=OC，AC⊥EF，OE=OF，∴四边形AECF为菱形．【题目点拨】本题考查了正方形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形的判定，对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键.23、(1)；(2)．【解题分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】(1)画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为1，所以“两次取的球标号相同”的概率==；(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和为奇数的结果数为8，所以“两次取出的球标号和为奇数”的概率==．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．24、(1)见解析；(2)

当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．证明见解析；(3)当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形.证明见解析．【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再通过证明得出，从而证明四边形是菱形；（2）证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，通过证明，，，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；证法二：如图，过点G作GH⊥BC于H，通过证明OD=OC=OG=OF，GF=CD，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；（3）

当∠GBC=120°时，点E与点A重合，通过证明，CD=GF，，从而证明四边形是矩形．【题目详解】(1)，，四边形是平行四边形，在和中，，，四边形是菱形．(2)

当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，，，，，，，.，，，，，，，，设，则，，

在Rt△BGK中，，解得，

，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，四边形是正方形．证法二：如图∵，，.又，，，.过点G作GH⊥BC于H，在Rt△BHG中，∵，∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，∴GC=，∴OG=OC===2，∴OD=OF=4-2=2，∴OD=OC=OG=OF，四边形是矩形，∵GF=CD，四边形是正方形．(3)当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形.

当∠GBC=120°时，点E与点A重合