实数知识点题型归纳

第六章实数3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1.0a知识解说+题型概括没有倒数。4.相反数是它自己的数只有0；绝对值是它自己的数是非负数（0知识解说和正数）；倒数是它自己的数是±1.一、实数的构成三、平方根与立方根1、实数又可分为正实数，零，负实数1.平方根：假如一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数数轴：数轴的三因素——原点、正方向和单位长度。数轴上的a（a>=0）a的平方根记作点与实数一一对应特征：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还二、相反数、绝对值、倒数是零。负数没有平方根。1.相反数：只有符号不一样的两个数互为相反数。数a的相反数是正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是是零。零.性质：互为相反数的两个数之和为0。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为|a|立方根：假如一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算有理数的加法法例：a）同号两数相加，取同样的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。

有理数的减法法例：减去一个数等于加上这个数的相反数。乘法法例：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只需有一个因数为0，积就为0有理数除法法例：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。5.有理数的乘方:2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则a<b；若a-b=0则a=b在an中，a叫底数，n叫指数3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b；a/b<1则a<ba）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负B.两个数均为负数时，a/b>1则a<b；a/b<1则a>b数；0的任何次幂都是0C.一正一负时，正数>负数b）a0=1（a不等于0）4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相6.有理数的运算次序：反a）同级运算，先左后右5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（无论正负）b）混淆运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后题型概括是加减。经典例题五·实数大小比较的方法种类一．相关观点的辨别1）数轴法：数轴上右侧的点表示的数总大于左侧的点表示的数1．下边几个数：0.23，，3π，，，此中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4，3π，是无理数应选C贯通融会：【变式1】以下说法中正确的选项是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】此题主要观察平方根、算术平方根、立方根的概念，

=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D、【答案】此题观察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，应选C．【变式3】【答案】∵π=3.1415，∴9＜3π＜10所以3π-9＞0，3π-10＜0∴种类二．计算种类题

2．设，则以下结论正确的选项是（）A.B.C.D.分析：（估量）由于，所以选B贯通融会：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.【答案】1）；.2）-3.3），，【变式2】求以下各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4种类三．数形联合3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______分析：在数轴上找到A、B两点，贯通融会：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B对于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．－1B．1－C．2－D．－2【答案】选C[变式2]已知实数、、在数轴上的地点如下图：化简【答案】：种类四．实数绝对值的应用4．化简以下各式：(1)|-1.4|(2)|π-3.142|(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)2(5)|x+6x+10|剖析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数仍是零，而后依据绝对值的定义正确去掉绝对值。

∴|-1.4|=1.4-∵π=3.14159＜3.142∴|π-3.142|=3.142-π(3)∵＜,∴|-|=-∵x≤3,∴x-3≤0,∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|=|2x-3|=说明：这里对|2x-3|的结果采纳了分类议论的方法，我们对解：(1)∵=1.414＜1.4这个绝对值的基本观点要有清楚的认识，并能灵巧运用。(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|(x+3)2≥0,∴(x+3)2+1＞0|x2+6x+10|=x2+6x+10贯通融会：【变式1】化简：【答案】=+-=

5．已知：=0，务实数a,b的值。剖析：已知等式左侧分母不可以为0，只好有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组进而求出a,b的值。解：由题意得由(2)得a2=49∴a=±7由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。∴只取a=7种类五．实数非负性的应用把a=7代入(1)得b=3a=21a=7,b=21为所求。贯通融会：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。解：∵(x-6)2++|y+2z|=0且(x-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。∴解这个方程组得∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式2】已知那么a+b-c的值为___________【答案】初中阶段的三个非负数：，a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2种类六．实数应用题6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为xcm，依据题意得x2=112+13×8（1）计算中间的小正方形的面积，聪慧的你能发现什么？∴x2=225（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm2时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm，求中间小正x=±15方形的边长.∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，∴只取x=15(cm)分析：（1）如图，中间小正方形的边长是：答：新的正方形边长应取15cm。贯通融会：【变式】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的，所以面积为=1矩形拼成一个大正方形，而且正中间留下的空白地区恰巧是一个大正方形的面积=，小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）一个长方形的面积=。所以，答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：（或）(2)大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2所以有，

将代入，得：cm答：中间小正方形的边长2.5cm。种类七．易错题7．判断以下说法能否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数化简得：分析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实质上，此题是求15的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无心义，发生错误的原由是忽略了“负数没有平方根”，故x≠，所以当x=2时，x=0.0（4）错在对实数的观点理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.

种类八．引申提升8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.（2）把以下