高考北师大版数学（理）一轮复习学案3-7解三角形应用举例

第七节解三角形应用举例命题分析预测学科核心素养从近五年的高考来看，本节内容直接命题较少，主要涉及高度、距离、角度等实际应用问题．本节主要考查考生的数学建模、数学运算核心素养．授课提示：对应学生用书第84页知识点测量中的有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α例：（1）北偏东α：（2）南偏西α：•温馨提醒•易混淆方位角与方向角的概念1．方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．2．“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是[0°，360°），方向角大小的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，90°))．1．（易错题）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的（）A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°．∴点A在点B的北偏西15°．答案：B2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为m．解析：由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，又因为∠B＝30°，所以AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)（m）．答案：50eq\r(2)3．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝米．解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BPA＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，所以eq\f(a,sin30°)＝eq\f(PB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a×sin60°＋asin15°＝eq\f(\r(2),2)a．答案：eq\f(\r(2),2)a授课提示：对应学生用书第84页题型一距离问题[例]（2021·宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即A，B两点间的距离），现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为_________．[解析]由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40（eq\r(6)＋eq\r(2)）．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40（eq\r(6)－eq\r(2)）．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×（8＋4eq\r(3)）＋1600×（8－4eq\r(3)）＋2×1600×（eq\r(6)＋eq\r(2)）×（eq\r(6)－eq\r(2)）×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5)．故图中海洋蓝洞的口径为80eq\r(5)．[答案]80eq\r(5)求距离问题的两个注意事项（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[对点训练]如图，为了测量两山顶D，C间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，在A位置时，观察D点的俯角为75°，观察C点的俯角为30°；在B位置时，观察D点的俯角为45°，观察C点的俯角为60°，且AB＝eq\r(3)km，则C，D之间的距离为km．解析：在△ABD中，因为∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°，由正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，即eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(AD,sin45°)，所以AD＝eq\f(\r(3)sin45°,sin60°)＝eq\r(2)（km）．由题意得∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝eq\r(3)km．所以AC＝3km．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠DAC＝5，即CD＝eq\r(5)km．答案：eq\r(5)题型二高度问题[例]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．[解析]由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)（m）．[答案]100eq\r(6)利用正、余弦定理求解高度问题应注意的三个问题（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键．（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出错．（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[对点训练]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1m，则发射塔高AB＝m．解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1m，∠AEF＝30°．在△BCD中，由正弦定理得BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(40·sin60°,sin45°)＝20eq\r(6)（m）．所以EF＝20eq\r(6)m．在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝20eq\r(2)（m），所以AB＝AF＋BF＝20eq\r(2)＋1（m）．答案：20eq\r(2)＋1题型三角度问题[例]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[解析]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．根据余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－240xcos120°，解得x＝2（负值舍去）．故AC＝28，BC＝20．根据正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14)．所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为eq\f(5\r(3),14)．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．[对点训练]如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7)．由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7)．由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7)．由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14)．解三角形应用问题中的核心素养数学建模——三斜求积公式的应用我国南宋著名数学家秦九韶（约1202－1261）的著作《数书九章》卷五“田域类”中有一题：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何．”该题就是已知三角形的三边长，求三角形的面积．《数书九章》给出的解法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”写成公式形式就是△ABC的面积S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c．这个公式中的三斜具有“对称性”，a，b，c只要分别表示三角形的三边即可，不一定专指大斜、中斜与小斜．秦九韶给出的“三斜求积”公式与海伦公式（△ABC的面积S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，其中△ABC的三边分别为a，b，c，p＝eq\f(a＋b＋c,2)，海伦公式的特点是形式漂亮，便于记忆）形异而质相同，填补了我国传统数学的一个空白，代表了我国古代已具有很高的数学水平，是我国数学史上的一颗明珠．[例]南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”（即△ABC的面积S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c）并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为（）A．82平方里 B．83平方里C．84平方里 D．85平方里[解析]由题意知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(132×152－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(132＋152－142,2)))\s\up12(2))))＝84（平方里）．[答案]C[对点训练]《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为（注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步）（