十三　倾斜角与斜率

7十三倾斜角与斜率1.经过两点A(2,1),B(1,m)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是 ()A.(-∞,1) B.(-1,+∞)C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选A.因为直线l的倾斜角为锐角,所以斜率k=m-11-2.经过A(3a,-2),B(0,a2+1)两点的直线的斜率为-43,则实数a的值为 (A.1 B.3 C.0或1 D.1或3【解析】选D.直线AB的斜率k=a2+1-(-2)0-3a=a2+3-33.在平面直角坐标系中,正△ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为 ()A.-23 B.0C.3 D.23【解析】选B.如图,易知kAB=3,kAC=-3,所以kAB+kAC=0.4.已知点A(2,-1),B(3,m),若m∈[-33-1,3-1],则直线AB()A.[π3,5πB.[0,π3]∪[5πC.[π3,π2)∪(π2D.[π3,π2)∪(5π【解析】选B.设直线AB的倾斜角为α,则直线AB的斜率k=m+13-2=m+1,又m∈[-33-1,3-1],则k的取值范围为[-即tanα的取值范围为[-33,3]又0≤α<π,则α∈[0,π3]∪[5π65.(多选题)下列说法中正确的是 ()A.若直线的斜率存在,则必有一个倾斜角与之对应B.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tanα【解析】选ABC.由直线的倾斜角与斜率的概念,知A,B,C说法均正确;因为倾斜角是90°的直线没有斜率,所以D说法不正确.6.(多选题)已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标可能为 ()A.(3,0) B.(-3,0)C.(0,-3) D.(0,3)【解析】选AC.设x轴上点P(m,0)或y轴上点P(0,n).由kPA=1,得0+1m-2=n+10-2=1,得m=3,7.设P为x轴上的一点,A(-3,8),B(2,14),若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的2倍,则点P的坐标为__________.

【解析】设P(x,0),由条件kPA=2kPB,则8-3-x=2×142-答案:(-5,0)8.直线l经过点(-1,0),倾斜角为150°,若将直线l绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,得到直线l',则直线l'的倾斜角为__________,斜率为__________.

【解析】如图所示,因为直线l的倾斜角为150°,所以绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,所得直线l'的倾斜角α=(150°+60°)-180°=30°,斜率k=tanα=tan30°=33答案:30°39.求图中各直线的倾斜角.【解析】(1)如图①,可知∠OAB为直线l1的倾斜角.易知∠ABO=30°,所以∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°.(2)如图②,可知∠xAB为直线l2的倾斜角,易知∠OBA=45°,所以∠OAB=45°,所以∠xAB=135°,即直线l2的倾斜角为135°.(3)如图③,可知∠OAC为直线l3的倾斜角,易知∠ABO=60°,所以∠BAO=30°,所以∠OAC=150°,即直线l3的倾斜角为150°.10.求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.【证明】因为A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3),所以kAB=-7kAC=-3-(-1)0-1因为直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A,所以直线AB与直线AC为同一直线.故A,B,C三点共线.11.直线l过原点(0,0),且不过第三象限,那么l的倾斜角α的取值范围是 ()A.{α|0°≤α≤90°}B.{α|90°≤α<180°}C.{α|90°≤α<180°或α=0°}D.{α|90°≤α≤135°}【解析】选C.倾斜角的取值范围为0°≤α<180°,直线过原点且不过第三象限,故其范围为90°≤α<180°或α=0°,切勿忽略x轴和y轴.12.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为 ()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°【解析】选D.根据题意,画出图形,如图所示.A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过图形可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.13.若三点A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三角形,则实数k的取值范围为__________.

【解析】kAB=k-1-2-3=1-k5,kAC=1-18-3=05=0.要使A,答案:(-∞,1)∪(1,+∞)14.设直线l的斜率为k,且-1<k<1,则直线l的倾斜角α的取值范围是__________.

【解析】当-1<k<0时,即-1<tanα<0,此时135°<α<180°.当0≤k<1时,即0≤tanα<1,此时0°≤α<45°.综上知直线l的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<45°或135°<α<180°}.答案:{α|0°≤α<45°或135°<α<180°}【补偿训练】已知直线l的倾斜角的取值范围为[π3,3π4],直线l的方向向量为(2,3m),则m的取值范围为【解析】易知tanπ3=3,tan3π4当θ∈[π3,3π4]时,tanθ∈(-∞,-1]∪[3,+∞),由题意知k=3m2,所以3m2≤-1或3m2≥3,解得m≤-23或m≥23答案:(-∞,-23]∪[215.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,3+1).(1)求直线AB和直线AC的斜率;(2)若点D在线段AB上移动,求直线CD的斜率的取值范围.【解析】(1)由斜率公式得kAB=1-11-(-1)=0,kAC=3+1-1(2)设直线CD的斜率为k,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kAC增大到kBC,又kBC=3+1-12-1=3,所以k16.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x