解三角形学案-北京市高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《解三角形》知识点总结1.1正弦定理一、三角形的面积公式1.一般地，若记△ABC的面积为S，则S=12absinC=12acsinB=二、正弦定理1.文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等2.符号语言：a三、正弦定理的推论及常见变形1.正弦定理的推论：在△ABC中，asinA2.常见变形(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；(2)sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.四、解三角形习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的

若干元素求其他元素一般称为解三角形.五、三角形中的常用结论1.三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；2.三角形中，大边对大角，大角的正弦值也较大，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB；3.在△ABC中，A+B+C=π，sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=cosC，sinA+B2=cosC2，cosA+B24.三角形中最大内角的取值范围是π3，π，最小内角的取值范围是六、用正弦定理解三角形时如何确定解的个数1.利用正弦定理解三角形常分为两类：(1)已知两角和任意一边，求其他的边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.其中，第(1)类问题的解是唯一的，但第(2)类问题可能出现多解或无解的情况，判断

解的情况可从代数和几何角度出发，以下举例说明.在△ABC中，已知a，b，A，用正弦定理求B时，解的情况如下：①若sinB=bsin②若sinB=bsin③若sinB=bsin七、如何用正弦定理判断三角形的形状1.利用正弦定理判断三角形形状的方法(1)化边为角.利用正弦定理得出三角形内角之间的关系并进行判断.例如在△ABC中，sinA=sinB⇒A=B，sin(AB)=0⇒A=B，sin2A=sin2B⇒A=B或A+B=90°等.常用的转化方式有：①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②ab=sinAsinB(2)化角为边.利用代数变换得出三角形的边之间的关系并进行判断.常用的转化方式有：①sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；②sinAsinB=ab八、如何用正弦定理解决三角形中的最值和范围问题1.解决三角形中的最值和范围问题时，通常有两种基本思路，一是将角转化为边，

然后借助均值不等式、函数单调性等进行求解；二是将边转化为角，然后通过三

角恒等变换，借助三角函数中的相关知识求解.两种思路都要借助正弦定理进行

边和角的转化.2.注意三角形中隐含条件的挖掘，如两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

等，据此建立不等式(组)确定边的取值范围；三角形中各内角均为正角，且内角和

等于180°，据此建立不等式(组)确定角的范围，进而利用三角函数的单调性确定取

值范围.3.将三角形中的边转化为角求解范围时，要注意辅助角公式、降幂公式等在解题

中的合理运用.1.2余弦定理一、余弦定理1.文字语言：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍2.符号语言：a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC二、余弦定理的变形cosA=b2+c2−三、如何用正、余弦定理解三角形三角形共有6个元素，有时已知条件比较复杂，这就需要我们正确地辨别条件，恰当选择定理来解决问题.1.当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，考虑用正弦定理；2.当已知条件涉及内角的正弦或外接圆半径时，考虑用正弦定理；3.当已知条件涉及内角的余弦值，边的平方或者边的乘积时，考虑用余弦定理；4.正弦定理和余弦定理交替使用，进行边与角的互化，解决问题.四、如何用余弦定理根据三角形的形状确定边的取值范围1.在根据三角形的形状确定边的取值范围时，主要依据余弦定理，将角为直角、钝

角、锐角分别转化为两边的平方和与第三边平方的大小关系，进而通过解方程(组)或不等式(组)求得结果.求边的取值范围时，还要注意各边长度均为正值，两边之和大于第三边，两边之

差小于第三边等隐含条件对参数取值范围的限制.典型例题训练1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·北京东城·统考一模）在中，，，，则（

）A． B．4 C． D．3．（2023秋·北京西城·高三统考期末）在中，若，则的面积是（

）A．1 B． C． D．4．（2023秋·北京房山·高三统考期末）在中，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·北京通州·高三统考期末）在中，若，，，则等于（

）A． B． C． D．6．（2023·北京西城·统考二模）在中，若，，，则．7．（2023·北京海淀·统考二模）如图，在中，是边上一点，，则；的面积为．8．（2023·北京房山·统考一模）在中，，则；的值为.9．（2023·北京顺义·高三统考期末）在中，，，，则，．10．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）在中，，则，.11．（2023·北京东城·统考二模）在中,.(1)求;(2)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积.条件①:;条件②:;条件③:.12．（2023秋·北京东城·高三统考期末）如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.(1)求；(2)求的周长.13．（2023·北京西城·统考一模）如图，在中，，，平分交于点，．(1)求的值；(2)求的面积．14．（2023·北京朝阳·二模）在中，，，.(1)求的面积；(2)求c及的值.15．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）在中，．(1)求；(2)若，求的最小值．16．（2023·北京丰台·统考二模）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．(1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）在中，．(1)求A；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在中，，，点在边上，.(1)求的长；(2)若的面积为，求的长.19．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）在中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．(1)求；(2)若的面积为，求的周长．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20．（2023·北京海淀·统考一模）在中，．(1)求；(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21．（2023·北京海淀·一模）在中，现有下列四个条件：①；②；③；④．(1)①②两个条件可以同时成立吗？请说明理由；(2)请选择上述四个条件中的三个，使有解，并求的面积．22．（2023·北京海淀·一模）在中，内角，，所对的边分别是，，．已知．(1)求角的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：，；条件②：，；条件③：，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．（2023·北京门头沟·统考一模）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.D是AB的中点，，.(1)求∠A的大小；(2)求a的值.24．（2023·北京房山·统考二模）在中，，，．(1)求；(2)若角为钝角，求的周长．25．（2023秋·北京房山·高三统考期末）在中，是边上一点，，，，.(1)求的长；(2)求的面积.26．（2023·北京顺义·统考一模）在中，．(1)求b；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．条件①：；条件②：边上中线的长为；条件③：．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．27．（2023·北京昌平·统考二模）在中，.(1)求；(2)若，求的面积.28．（2023·北京平谷·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求的面积．29．（2023·北京密云·统考三模）已知的内角的对边分别为，且(1)求的值；(2)给出以下三个条件：条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.30．（2023·北京延庆·统考一模）在中，，.(1)当时，求和；(2)求面积的最大值.参考答案1【解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.2．【解】，，，所以，解得，，因为，所以，.故选：C.3．【解】由余弦定理得，代入，得，联立化简得，解得或（舍去），故，，则,故.故选：D.4．【解】设，则，由余弦定理得：，；，，，即的取值范围为.故选：D.5．【解】在中，若，，,则,即，即，解得，舍去，故选：A6．【解】由，得，则，则，所以（负值舍去），由，在三角形中易得，因为，所以.故答案为：.7．【解】在中由余弦定理，即，解得，所以，所以，所以.故答案为：；8．【解】，，故，，；，则，即，，，则，，.故答案为：；9．【解】因为，由正弦定理可得，因为、，则，所以，，则，故，由余弦定理可得，即，，解得.故答案为：；.10．【解】由余弦定理可得，故，故（舍）或，故，而为三角形内角，故.故答案为：，.11．【解】（1）由正弦定理得,得,,因为,所以则.所以,所以.（2）选条件①:因为,由正弦定理得,由余弦定理得,解得，则,解得，所以存在且唯一确定,则.选条件②:,已知由正弦定理得,因为,所以,,所以存在且唯一确定,则.选条件③:,由余弦定理得,即,所以,即,因为,所以不存在使得存在.12．【解】（1）在中，，，，由正弦定理可得，故，因为是锐角三角形，所以.（2）由（1）得，所以.在中，，，，所以.所以的周长为.13．【解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以；（2）由（1）得，由题设，，即为等腰三角形，所以，，所以的．14．【解】（1）由且，则，所以.（2）由，则，而，则.15．【解】（1）解：因为，所以，又因为，所以，即有，又因为，所以；（2）解：因为，，所以，当时，等号成立，所以，故的最小值为：3.16．【解】（1）选①，由余弦定理得，解得，选②，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以，即，解得.（2）选①，，，故，在中，，所以⊥，故，所以四边形ABCD的面积为；选②，，故，故，因为，所以，故，，故四边形ABCD的面积为.17．【解】（1）由可得，.因为，所以，又，所以或.（2）若选①：.因为，所以为钝角，为锐角，又，又，所以，即，所以存在且唯一确定.则，由可得..根据正弦定理可得，，所以；若选②：.因为，所以，由正弦定理可得，，因为，所以，所以存在且唯一确定.则，所以，；若选③：.因为，所以，此时或，所以，此时存在但不唯一.18．【解】（1）因为，所以在中，因为所以在中，由正弦定理得，所以；（2）的面积为，得因为，所以又因为，所以在中，由余弦定理得所以.19．【解】（1）选①：，因为，所以，因此有，因为，所以；选②：由，因为，所以；（2）因为的面积为，所以有，而，解得：，由余弦定理可知：，所以的周长为.20．【解】（1）因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.（2）选条件①：由（1）知，，根据正弦定理知，，即，所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②：因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.选条件③：因为，所以，由，得到，又，由(1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.21．【解】（1）由条件①得，解得或，因为，所以；由条件②得，因为，所以．而与矛盾，所以①②不能同时成立．（2）由（1）知，①②中只能选择其一，若选择②③④，由知，而，显然不成立，所以只能选择①③④．有，即，，因为，所以，所以，即是以为直角的三角形，所以的面积．22．【解】（1）因为，所以，又，所以.因为，所以.（2）选①：由余弦定理可得，.即，此时，无解，不合题意.选②：由余弦定理可得，整理得，解得或（舍），即.满足存在且唯一确定，则的面积为.选③：，由正弦定理可得.由余弦定理可得，，即.解得，当时，，不合题意；所以，满足存在且唯一确定，则的面积为23．【解】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，得，因为，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即，解得：(负值舍去)，则，在中，由余弦定理得：，所以.所以.24．【解】（1）在中，因为，所以，因为，，所以，由，得，解得（2）因为，为钝角，所以，由得，整理得，解得或（舍），所以.所以的周长为.25．【解】（1）因为，则，，，中，,即，解得：或（舍），所以；（2），因为所以，，所以.26．【解】（1）因为，在△中，由正弦定理，可得：，又因为，所以.（2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件①选择条件②设边上的中线为，则，，在△中，