应用数理统计Chapter2

1第二章抽样分布及若干准备知识§2.1引言§2.2正态总体样本均值和样本方差的分布§2.3次序统计量的分布§2.4§2.5统计量的极限分布§2.7充分统计量2极限分布:精确分布:

在研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量的分布.

从理论上而言,只要知道了总体X的分布,统计量的分布即可求出,但实际操作起来并不容易.

何谓抽样分布?统计量的分布称为抽样分布.§2.1引言抽样分布正态总体样本均值和样本方差的分布，样本容量足够大时,作为精确分布的近似3§2.2正态总体均值和样本方差的分布

性质：样本均值与样本方差的无偏性证明:(ii)4§2.2.1正态变量线性函数的分布定理2.2.1正态分布5推论1推论26定理2.2.2i.i.d.N(0,σ2)r.v.经过正交变换仍为i.i.d.N(0,σ2)r.v.7证明:8§2.2.2正态变量样本均值和样本方差的分布设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理2.2.3★9证明:1011注：12§2.3次序统计量的分布§2.3.1单个次序统计量的分布证明:定理13

14练习

设总体密度函数为

p(x)=3x2,0

x1.

从该总体抽得一个容量为5的样本，试计算

P(x(2)1/2)。15

大家很快会看到，有很多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，它们被称为统计中的“三大抽样分布”。16定义:

设，则随机变量

服从自由度为

n

的分布，记为§2.4三大抽样分布：§2.4.1分布分布是由正态分布派生出来的一种分布.定理2.4.1(证明略)17其中伽玛函数为

随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.18当随机变量

2

2(n)时，对给定

(0

1)，称满足P(

2

2(n)=

的

2(n)是自由度为n的卡方分布的下侧

分位数.分位数

2(n)可以从附表中查到。19

证明:分布的可加性证明:2021定义:

设X～N(0,1),Y～，且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布，记为t~tn.§2.4.2t分布定理2.4.2Gosset1908年以笔名student提出22-3-2-11230.10.20.30.4n=1n=20厚尾分布

23分位数设t～t(n)，若对0<

<1,存在t

(n)>0，满足

P{t

t

(n)}=

则称t

(n)为

t(n)的下侧

分位数.24

25服从自由度为m和n

的F分布，记作注:§2.4.3F分布定义:定理2.4.326m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1027

上侧分位数3.9;3.2228

F—分布的分位数

对于

0<

<1，若存在F

(m,n)>0满足

P{F

F

(m,n)}=

，则称F

(m,n)为F(m,n)的下侧

分位数29即它的数学期望并不依赖于第一自由度m.

30§2.4.4几个重要结论推论1推论2推论331

例题例1解32例2解3334课堂练习35解136解2373.

设r.v.X与Y相互独立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

与Y1,Y2,…,Y16

分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解38从而394

设总体

的样本,为总体

X

试确定常数c,

使cY服从分布.解故因此4041证明：故，且

与独立,所以426、设X1,X2,…,X2n

是来