专题四第3讲-空间向量与立体几何

第3讲空间向量与立体几何寿县迎河中学龙如山基础要点整合一、构建知识网络1．熟记证明六种线面位置关系的向量方法设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，常数k≠0.(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔_______⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔_________⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.二、梳理基础知识a＝kba·b＝0(3)线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(4)线面垂直：l⊥α⇔______⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(5)面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔______________________.(6)面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔__________________.a∥μa3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4a3a4＋b3b4＋c3c4＝02．掌握利用向量求空间角的三个公式(1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cos

θ＝___________＝__________.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝___________＝____________.|cos〈a，b〉||cos〈n，a〉|(3)向量法求二面角求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos

θ＝_______________＝__________；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos

θ＝________________＝___________.|cos〈n1，n2〉|－|cos〈n1，n2〉|[考情一点通]考点一：利用空间向量证明空间线面位置关系考点核心突破题型解答题难度中档或偏上考查内容此类问题常以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的判定或证明问题，常出现在解答题的第(1)问.【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F，求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.[自主解答]如图所示，建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a.【拓展归纳】利用空间向量证明线面位置关系思路及注意点(1)利用空间向量证明空间线面位置关系的思路有两个：一是把线面平行或垂直的判定定理向量化，利用向量证明线面的平行与垂直；二是求出线面的法向量，利用线面与法向量的关系证明其位置关系．(2)利用空间向量证明线面的位置关系时，要建立适当的坐标系，并且计算必须准确无误．1．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.【考点集训】证明

(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，[考情一点通]考点二：利用空间向量求空间角题型解答题难度中档或偏上考查内容此类问题常以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算.[自主解答]

(1)证明

E、F分别是AB、AP的中点．EF是△PAB的中位线，∴EF∥PB.由已知可知PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC.∵AC⊥BD，∴AC⊥面POB，PB⊂面POB，∴AC⊥PB，∴AC⊥EF.【拓展归纳】运用空间向量求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．【易错提示】(1)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos

α＝|cos

β|.(2)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．2．(2013·大兴区一模)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．(1)求证：A1B∥平面ADC1；(2)若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．【考点集训】解析

(1)证明因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以四边形A1ACC1是矩形．连接A1C交AC1于O，则O是A1C的中点．又D是BC的中点，所以在△ADC1中，OD∥A1B.因为A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.(2)因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC.以D为原点，建立如图所示空间坐标系D－xyz.函数与方程的思想方法[考情一点通]

考点三：利用空间向量解决探索性问题题型解答题难度中档或偏上考查内容综合空间线面位置关系的证明、空间角和空间距离的计算，已知结论寻求成立的条件，或判断是否存在使已知结论成立的条件.[自主解答]

(1)证明四边形ADD1A1为正方形，设O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE.∴EO为△ABD1的中位线，∴EO∥BD1.又∵BD1⊄平面A1DE，OE⊂平面A1DE，∴BD1∥平面A1DE.(2)证明正方形ADD1A1中，A1D⊥AD1，由已知可得：AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴AB⊥A1D，AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面A1DE.∵D1E⊂平面AD1E，∴A1D⊥D1E.【拓展归纳】运用函数与方程的思想解决探索性问题(1)空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．3．(2013·西城区一模)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB.【考点集训】(1)求证：AC⊥平面FBC；(2)求BC与平面EAC所成角的正弦值；(3)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．(2)因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC.因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD，所以CA，CF，CB两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系C－xyz.解题规范流程答题模板九应用空间向量求空间的角(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．[解题流程]第一步：细研题干，提取关键信息第二步：逆审设问，突破解题切点(1)要证明A′O⊥平面BCDE⇒需要证明A′O垂直平面BCDE内两不相交的直线⇒猜想OD，OE应为目标⇒计算OD，OE的大小，验证垂直关系⇐[突破口](2)要求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值⇒需求二面角两半平面的法向量⇒建系求法向量⇒求法向量的夹角的余弦值⇒查看法向量的夹角与所求二面角的关系⇒下结论第三步：规范答题，杜绝无谓失分答题模板第一步：证明．通过证明直线和平面垂直，为下一步建系做准备，并得到二面角其中一个半平面的法向量．第二步：建系．由(1)的证明以及三角形ABC为等腰直角三角形，可建立空间直角坐标系．第三步：求法向量．设出法向量，利用垂直关系求解．第四步：求余弦．求出二面角两个半平面的法向量夹角的余弦值．第五步：下结论．观察图形，根据两平面所成角的范围，确定法向量的夹角与二面角的关系.

1．(2013·崇明模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)若AB＝2，求二面角A－B1E－A1的大小．随堂演练训练高效提能2．(2013·丰台区一模)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB＝1，M