第03讲基本不等式精讲

第03讲基本不等式(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：基本不等式的内容及辨析 4高频考点二：利用基本不等式比较大小 6高频考点三：利用基本不等式求最值 8角度1：利用基本不等式求积最大值 8角度2：利用基本不等式求和最小值 10角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 11角度4：“1”的妙用求最值 12角度5：条件等式求最值 13高频考点四：基本不等式的恒成立问题 18高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 21第四部分：数学思想方法 25①函数与方程 25②转化与化归 27③特殊与一般 30温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果，，，当且仅当时，等号成立．②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．2、两个重要的不等式①（）当且仅当时，等号成立．②（）当且仅当时，等号成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.①凑：凑项，例：；凑系数，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.解析：，即，解得.第二部分：高考真题回归1．（2021·（乙卷文）·高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．2．（多选）（2022·（新高考Ⅱ卷）高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：基本不等式的内容及辨析典型例题例题1．（2023秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，当时，，A不正确；对于B，当时，，且，若，则，B不正确；对于C，，则，即C不正确；对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确.故选：D例题2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）当时，函数（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【详解】，，，当且仅当时等号成立，故选：A例题3．（多选）（2023秋·宁夏银川·高一银川一中校考期末）下列结论正确的是（

）A．函数的最小值为2B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】BD【详解】令，则，在，上单调递增，故，A错误；当时，，当且仅当时取等号，B正确；当，时，C显然不成立；若，，则，，则，当且仅当时取等号，D正确．故选：BD．练透核心考点1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知，则取得最小值时的值为（

）A．3 B．2 C．4 D．5【答案】A【详解】，则，当且仅当，即时等号成立.故选：A2．（多选）（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知a，，且，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确；对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，故D不正确.故选：BC.3．（多选）（2023秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）下列命题中正确的是（

）A．时，的最小值是2B．存在实数，使得不等式成立C．若，则D．若，且，则【答案】BCD【详解】当时，，当且仅当时等号成立，故时，取不到最小值2，故A错误；当时，,故B正确；,故，故C正确；，，则,解得，当且仅当时等号成立，故D正确.故选:BCD.高频考点二：利用基本不等式比较大小典型例题例题1．（2023·高一课时练习）若，，，则，，，中最大的一个是______．【答案】##【详解】，，，则，，，综上所述：最大的一个是.故答案为：例题2．（2022秋·山东青岛·高一青岛二中校考期中）设正实数、满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误；B：由，仅当时等号成立，故，正确；C：由，仅当时等号成立，故，错误；D：由，仅当时等号成立，故，错误.故选：B例题3．（2023·全国·高三专题练习）中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度与的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】易知，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为，逆流而上的时间为，则平均速度，由基本不等式可得，而，当且仅当时，两个不等式都取得“=”，而根据题意，于是.故选：A.练透核心考点1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，因为，，所以.故选：D2．（2023·高一课时练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为的砝码放在天平左盘中使天平平衡；那么这条项链的真实质量（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定【答案】B【详解】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），再利用杠杆原理，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即，，解得：，下面比较与的大小：，由于，故等号不成立，所以故选：B3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】由题设，，则(仅等号成立)，可得，由，即，则，A正确；由，即，B错误；由，C正确；由，当且仅当时等号成立，D错误；故选：AC高频考点三：利用基本不等式求最值角度1：利用基本不等式求积最大值典型例题例题1．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知正数，满足，则的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【详解】因为正数，满足，所以，当且仅当且，即时取等号，所以的最大值为.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.【答案】【详解】因为，所以，则有，当且仅当，即时，取等号，故的最大值是.例题3．（2022·北京·统考模拟预测）已知，则的最大值为__________．【答案】4【详解】，，当且仅当，即时等号成立.故答案为：角度2：利用基本不等式求和最小值典型例题例题1．（2023春·甘肃武威·高一民勤县第一中学校考开学考试）函数的最小值为（

）A．6 B．4 C． D．【答案】A【详解】因为，所以，由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故函数的最小值为.故选：A例题2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以，所以的最小值为，故选：D例题3．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）若正数，满足，则的最小值是__________．【答案】4【详解】因为，所以，则，因为，所以，则，故，当且仅当时，等号成立．故答案为:4.角度3：二次与二次（一次）的商式的最值典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A例题2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）10.【详解】（1）∵（当且仅当，即x=1时取等号）的最小值为3；（2）令，则，当且仅当即t=3时取等号y的最小值为10角度4：“1”的妙用求最值典型例题例题1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．8 B．17 C．20 D．25【答案】D【详解】，当且仅当，即时等号成立.故选：D.例题2．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）若存在正实数，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵为正实数，则，当且仅当，即时等号成立，若存在正实数，使得不等式成立，则，解得或，故实数的取值范围为.故选：B.例题3．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知．(1)证明：．(2)求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，且，所以，则，即，得．当且仅当，即时，等号成立．故得证．（2）由题意得，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．角度5：条件等式求最值典型例题例题1．（2023春·浙江·高三开学考试）设，为正实数，若，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】解：因为，为正实数，且，令，，则，则，当且仅当，即，时取等号.故选：D．例题2．（2023秋·天津河北·高三统考期末）已知，，且，则的最小值为______.【答案】【详解】由得：，又，，（当且仅当时取等号），，解得：（舍）或，当时，取得最小值.故答案为：.例题3．（2023秋·四川成都·高一统考期末）已知实数，满足，则的最小值为______．【答案】【详解】因为时取等号，则,得，可得，，即得最小值为,故答案为：练透核心考点1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，即，所以，又，，则，当且仅当，时，等号成立.故选：A2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知，，且，则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．【答案】B【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【详解】，当且仅当,即等号成立.故选：D.4．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，，，则的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【详解】因为，，，则，当且仅当时，即时取等，所以的最小值为，故选：.5．（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）若，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，，所以即，当且仅当时，等号成立；解得或（舍）.故选：B.6．（多选）（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】A选项，由题可得，得，故A错误；B选项，，当且仅当，即时取等号.故B错误；C选项，，当且仅当，即时取等号.则，故C正确；D选项，由B选项分析得，则，故D正确.故选：CD7．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知，且，则的最大值为______.【答案】【详解】，且，，当且仅当时等号成立，故答案为：.8．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.【答案】【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即；故答案为：9．（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）若正实数、满足，则的最小值为______.【答案】【详解】因为正实数、满足，所以.当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.10．（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）已知，，，则的最小值为__________.【答案】##【详解】由得：，而，，则有，于是，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故答案为：11．（2023秋·云南大理·高一统考期末）设，且.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）法一：，当且仅当且时等号成立．∴ab的最大值为法二：，，当且仅当，即，时等号成立．∴ab的最大值为．（2），当且仅当时等号成立，∴的最小值为．12．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）已知,求的最大值.【答案】【详解】解:,当且仅当,即时,等号成立,此时取最大值.高频考点四：基本不等式的恒成立问题典型例题例题1．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）已知，若恒成立，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．24 D．25【答案】C【详解】∵，所以，∴，当且仅当，即时等号成立，即，由题意可得：，又，解得，故的最大值为24.故选：C.例题2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．12 C．16 D．25【答案】D【详解】因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立．因不等式恒成立，只需，因此，故实数的最大值为25．故选：D例题3．（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立.又，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，则不等式恒成立，即为，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A.例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为______．【答案】9【详解】因为，当且仅当，，时取等号，所以，整理得，解得，故正实数a的最小值为9．故答案为：9.练透核心考点1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知且恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，则且、均为正数，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，所以，，即，解得.故选：C.2．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】正实数满足，则，当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.3．（2023·高三课时练习）已知x＞0，y＞0，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】可化为，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为8，因为恒成立，所以，解得，则实数m的取值范围是．故选：A．4．（2023秋·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，，，∴当且仅当，即时等号成立，解得，时等号成立，因为不等式恒成立，所以，即所以，实数的最大值为.故选：D．高频考点五：利用基本不等式解决实际问题典型例题例题1．（2023秋·河南·高一校联考期末）某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．(1)写出：满足的关系式；(2)求温室体积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为，3面墙壁所用材料的面积为，所以．（2）因为，当且仅当时取等号，所以，令，则，解得，∴，当且仅当，时取等号，所以温室体积，则温室体积的最大值为．例题2．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】(1)每月处理量为400吨时，平均每吨处理成本最低(2)该企业不盈利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.【详解】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，，∴，当且仅当，即时取等号，当时，每吨平均处理成本最低.（2）设该工厂每月的利润为，则，∴，当时，，所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴35000元才能使工厂不亏损.例题3．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人？(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值.【答案】(1)75人；(2)7.【详解】（1）依题意得解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：得整理得故有当且仅当时等号成立，所以，故正整数的最大值为7练透核心考点1．（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）某大型企业原来每天成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量时，总成本．(1)求k的值；(2)设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少．（日平均利润就是日总利润÷日产量）【答案】(1)(2)尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元【详解】（1）由题意，尾气净化装置安装后总成本，当日产量时，总成本，得．（2）由（1）可得，总利润，日平约均利润，当且仅当，即时取等号．∴尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元．2．（2023春·广西南宁·高一校考开学考试）北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产千件，需另投入成本万元.当年产量低于30千件时，；当年产量不低于30千件时，.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大?最大年利润是多少?【答案】(1)(2)当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元【详解】（1）当时，；当时，.所以（2）当时，函数的对称轴为，所以此时该函数是单调递增函数，因此有，当时，当且仅当时，等号成立.因为，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元.3．（2023秋·广东广州·高一校考期末）某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和．(1)写出关于的函数表达式；(2)求为多少时，有最小值，并求出的最小值．【答案】(1)(2)当时，有最小值为【详解】（1）解：由题意可得，关于的函数表达式为．（2）解：，当且仅当，即时，等号成立，当时，有最小值为．第四部分：数学思想方法①函数与方程1．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）求函数最值有很多的方法，其中某些函数的最值可以利用配方法求值域，例如：，所以函数的最小值为－1，当且仅当时取得最小值．(1)利用配方法求函数的最小值；(2)某面粉厂定期买面粉，每次都购买吨，运费为4万元每次，已知面粉厂一年购买面粉400吨，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值应为多少？【答案】(1)4；(2)20.【详解】（1）由，则，所以函数的最小值为4，当且仅当即时取得最小值.（2）一年购买400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元每次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为元，由，有，当且仅当即吨时，等号成立，即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.2．（2021秋·河南新乡·高一校考阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（单位：）．(1)求关于的函数关系式；(2)求的最大值，并求出此时的值．【答案】(1)，(2)当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为．【详解】（1）由题设，得，．（2）因为，所以，当且仅当时等号成立，从而．故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植