江西省赣州市六校联盟2022-2023学年高一5月联考数学试题

2023年高一5月联合测评卷数学考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在签题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则的虚部为（）A. B.1 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法化简复数，根据共轭复数概念求出虚部.【详解】，故，的虚部为1.故选：B2.向量，若，则实数a＝（）A.－4 B.－2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由向量线性运算坐标表示得，结合向量平行有且，列方程组求参数值即可.【详解】由，又，所以且，故，得.故选：B3.在中，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为，所以，．故选：C．4.已知定义在上的函数满足，且当时，，则（）A.2 B.0 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】通过对已知条件的转化，得出函数是周期函数.利用函数周期性转化求值即可.【详解】因为，所以，且，则，又可得，，故，所以函数是周期的周期函数，．故选：D．5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式得到，再将两边平方及二倍角的正弦公式计算可得.【详解】，所以，所以．故选：A．6.在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与以10为半径的圆交于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用任意角的三角函数定义求得，根据为第四象限角，判断的范围，然后求出的值，最后根据两角差的余弦公式求出即可.【详解】在平面直角坐标系中，为第四象限角，角终边与半径为10的圆交于点．故选：C．7.在中，角的对边分别是．已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，由，利用倍角公式和同角三角函数的关系解得，结合余弦定理可求的值.【详解】，由正弦定理得，故，又，，故，，所以．又，设，则，解得或（舍去）．故选：D．8.已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解.【详解】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.由对称性可得是以为顶角等腰三角形，，由，整理得，得，则，所以，要使为钝角三角形，只需即可，由，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在中，内角所对的边分别为，下列根据条件判断三角形解的情况正确的是（）A.，无解B.，有两解C.，只有一解D.，只有一解【答案】CD【解析】【详解】对于，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；对于B，，由正弦定理得，无解，B错误；对于C，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确；对于，有，则，此时，有唯一解，D正确．故选：CD．10.已知复数，则下列结论中一定正确的是（）A.若，则B.若，则或C若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据复数的形式，乘除法，相等，乘方运算即可求解.【详解】对于，虚数不能比较大小，故不正确．对于，设，若，则，所以即所以，若，则成立，此时；若，由得，由得，此时；若，由得，由得，此时；若，由得，所以，此时，所以，若，则或，故正确；对于，设，则，但，故不正确；对于，设，所以，故D正确；故选：BD．11.已知某曲线部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.一条对称轴方程为C.在上单调递增D.图象可以由图象向左平移个单位长度得到【答案】ABD【解析】【分析】对于.根据图象求得，再由求解判断；对于B.由求解判断；对于C：由求解判断；对于D.利用平移变换求解判断.【详解】对于A.因为，所以由图象知，，所以，又因为，且在的单调递减区间上，所以因为，所以，又因为，所以，所以，故A正确；对于B.，故对称轴方程为，当时，，故B正确；对于C.由知，由，解得，所以的单调递增区间为，故C错误；对于D.图象向左平移个单位长度得到，，故D正确．故选：ABD．12.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.B.在向量上的投影向量为C.若，则为的中点D.若在线段上，且，则的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，设，则，整理得到，，，，设，对选项A：，，，错误；对选项B：，，，即投影向量为，正确；对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：，，，，，整理得到，，故，正确.故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算:________．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式化简求值.【详解】．故答案为：．14.已知平面直角坐标系中向量的旋转和复数有关，对于任意向量，对应复数，向量逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量．这就是向量的旋转公式．已知正三角形的两个顶点坐标是，根据此公式，求得点的坐标是_______．（任写一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求出对应的复数，确定旋转角，利用旋转公式求出对应的复数，即可列式求解作答.【详解】设点的坐标为，点，则，从而对应的复数为，若由逆时针旋转得到，对应的复数为，因此，解得，则的坐标是；若由逆时针旋转得到，对应的复数为，因此，解得，则点的坐标是．故答案为：（或）15.用表示不超过实数的最大整数，譬如：则方程的解为_______．【答案】【解析】【分析】由正弦函数的值域，分、和三个类型讨论，求方程的解.【详解】，，，当时，，可得，符合题意；当时，，(i)若，则或．，符合题意，，不符合题意，舍去；（ii）若，则或，符合题意，，不符合题意，舍去；当时，即，故或，此时无意义，舍去．综上所述，方程的解为或．故答案为：．16.在中，角，，的对边分别为，，，且，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式，求出和角的范围，再结合已知条件和正弦定理、余弦定理，求解即可.【详解】在中，角，，的对边分别为，，，∵，当且仅当时取等号，∴，∴，由余弦定理可知，，∴由正弦定理有，即，∴，∵，∴，∴.∴的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．17.已知虚数单位，复数．（1）若复数满足，求；（2）若关于的实系数一元二次方程有一个根是，求的值．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根据题意得到，结合，得出，利用复数运算法则，即可求解；（2）根据题意，代入方程得到，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【小问1详解】解：由复数，可得，因为，可得，所以．【小问2详解】解：因为为实系数方程的一根，所以，整理得，所以且，解得．所以．18.已知向量满足，，且.（1）若，求实数的值；（2）求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解；（2）先数量积知识求出，的值，然后利用数量积的夹角公式求解即可.【小问1详解】因为，所以，即，解得，若，则，即，即，解得.【小问2详解】因为，又，所以，即与的夹角的余弦值为.19.已知．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系，转化为齐次式，代入即可求解；（2）由，求得，进而求得，结合两角差的正切公式，即可求解.【小问1详解】解：由，又由【小问2详解】解：由，可得，由，得，又由，故，又，得，故，所以，又因为，所以．20.设函数．（1）当时，求函数的值域；（2）的内角所对的边分别为的面积是且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）综合应用三角恒等变换与三角函数的知识即可求得结果；（2）综合应用平面向量数量积、三角函数、解三角形等知识即可求得结果.【小问1详解】，，，则，所以函数的值域为．【小问2详解】由（1）知，，即，，，故，即，由，得，所以，即，又因为，所以，，又，，故.21.为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，.（1）求的长度.（2）假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.【小问1详解】因为，，所以，在中，由余弦定理，得.【小问2详解】在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，解得.假设小夏先去地，走路线，路长，假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，假设小夏先去地，走路线，路长，由于，所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为.22.已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数．【答案】（1）（2），在共有3035个不同的零点．【解析】【分析】（1）由最小正周期和对称轴，解出和，得到函数的解析式；（2）由函数图像的变换，得函数的解析式，利用函数的周期性，通过换元法，分类讨论在上有奇数个零点的条件.【小问1详解】由三角函数的周期公式可得，所以，令，得，由于直线为函数的一条对称轴，有，得，由于，所以，则，因此．【